Deriviranje implicitno zadane funkcije

☰ matematika1

Implicitno zadanu funkciju deriviramo tako da izraze koji sadrže zavisnu varijablu deriviramo koristeći Teorem o deriviranju kompozicije 5.4.

Na primjer, želimo odrediti tangentu na elipsu

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$

u točki

. Kako su lijeva i desna strana jednadžbe elipse jednake, jednake su im i derivacije. Pored toga,

deriviramo kao u primjeru 5.6. Dakle,

$\displaystyle \frac{2x}{4}+2yy'=0,$

odnosno

$\displaystyle y'=-\frac{x}{4y}.$

Vidimo da smo dobili izraz za derivaciju

kao funkciju od

. Za točku u kojoj tražimo jednadžbu tangente vrijedi

$\displaystyle y(1)=+ \sqrt{1-\frac{1^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(pozitivnu vrijednost korijena smo uzeli zbog uvjeta

) pa je koeficijent smjera tangente dan s

$\displaystyle y'(1)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}.$

Uvrštavanje u formulu (5.2) nakon sređivanja daje jednadžbu tražene tangente,

$\displaystyle y=-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{2}{\sqrt{3}}.$

(5.3)

Zadana elipsa i njena tangenta prikazane su na slici 5.3.

**Slika 5.3:** Elipsa i tangenta
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/eltan.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$