×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta i normala

Derivacija

U ovom poglavlju definirat ćemo derivaciju te derivacije slijeva i zdesna, izvesti formule za jednadžbe tangente i normale i dati osnovna pravila deriviranja. Potom ćemo izvesti formule za derivacije svih elementarnih funkcija iz poglavlja 4.6.

Definicija 5.1   Funkcija $f:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ je derivabilna u točki $x_0\in \mathcal{D}$ ako postoji limes

$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0).$$

Broj $f'(x_0)$ je derivacija funkcije $f$ u točki $x_0$ . $f'(x)$ definirana na ovaj način je također funkcija i vrijedi

$$f':\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}\to \mathbb{R}.$$

Ako je $\mathcal{A}\subset \mathcal{D}$ , tada je funkcija $f$ derivabilna na skupu $\mathcal{A}$ , a ako je $\mathcal{A} = \mathcal{D}$ , tada je $f$ derivabilna funkcija. Ako je pored toga funkcija $f'$ neprekidna, tada je $f$ neprekidno derivabilna ili glatka funkcija.

Definicija limesa 4.5 povlači da u izoliranoj točki $x_0$ derivacija $f'(x_0)$ ne postoji, premda je funkcija $f$ definirana u toj točki (vidi sliku 5.1).

Slika 5.1: Izolirana točka

Dokažimo sljedeći važan teorem.

Teorem 5.1   Ako je funkcija $f$ derivabilna u točki $x_0$ , tada je i neprekidna u toj točki.

Dokaz.

Derivabilnost funkcije $f$ u točki $x_0$ povlači

$$\lim_{x\to x_0} ( f(x)-f(x_0) ) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)$$

$$=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\, \lim_{x\to x_0}(x-x_0)$$

$$= f'(x_0)\lim_{x\to x_0}(x-x_0)$$

$$=0.$$

Dakle, $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ , pa je funkcija $f$ neprekidna u točki $x_0$ po definiciji 4.6.     

Q.E.D.

Vidimo da funkcija nema derivaciju u točkama prekida. Obrat teorema ne vrijedi, odnosno ako je funkcija $f$ neprekidna u točki $x_0$ , ne mora imati derivaciju u toj točki (vidi primjer 5.3).

Ako u definiciji 5.1 prirast nezavisne varijable u točki $x_0$ označimo s

$$\Delta x=x-x_0,$$

a prirast funkcije $y=f(x)$ u točki $x_0$ označimo s

$$\Delta f(x_0) \equiv \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),$$

tada imamo

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta... ...\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Kada u ovoj formuli zamijenimo $x_0$ s $x$ , dobijemo izraz za derivaciju koji je pogodan za primjene,

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\... ... 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$ (5.1)

Iz teorema 5.1 slijedi da u definiciji 5.1 i formuli (5.1) brojnik i nazivnik istovremeno teže k nuli, odnosno derivacija je definirana kao limes neodređenog oblika $\frac{0}{0}$ . Međutim, takvi neodređeni limesi se mogu izračunati, što nam daje formule za derivacije zadanih funkcija.

Primjer 5.1  

a)

Za konstantnu funkciju $f(x)=c$ po formuli (5.1) vrijedi

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} 0=0.$$

b)

Za funkciju $f(x)=cx$ vrijedi

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= ... ...c(x+\Delta x)-cx}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{c\Delta x}{\Delta x}=c.$$

c)

Za funkciju $f(x)=x^2$ vrijedi

$$f'(x) =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$$

$$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)$$

$$=2x.$$

d)

Adicioni teoremi (A4) i (A5) povlače

$$\sin (u+t)-\sin (u-t)=2\cos u \sin t.$$

Primjena ove formule daje

$$(\sin x)' =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$$

$$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin [ (x+\frac{\Delta x}{2}) + \frac{\Delta x}{2} ]- \sin [ ( x+\frac{\Delta x}{2}) - \frac{\Delta x}{2} ] }{\Delta x}$$

$$=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{2 \cos (x+\frac{\Delta x}{2}) \sin \f... ...Delta x}{2}}{\Delta x} \lim_{\Delta x\to 0} \cos \big(x+\frac{\Delta x}{2}\big)$$

$$=\cos x.$$

U predzadnjoj jednakosti koristili smo treću tvrdnju teorema 4.3 o limesu produkta, a u zadnjoj jednakosti koristili smo zadatak 4.5.

e)

Na sličan način možemo pokazati da je

$$(\cos x)'=-\sin x.$$

Dokažite ovu formulu.

Primijetimo da su po definiciji 5.1 sve ove funkcije glatke, jer su im derivacije neprekidne.

Derivacija je nezaobilazni alat u rješavanju mnogih problema u fizici, mehanici i općenito tehnici. Isaac Newton je u XVII. stoljeću započeo razvijati diferencijalni račun baveći se problemom određivanja brzine.

Primjer 5.2   Neka je s

$$s=f(t)$$

dan zakon prema kojem se točka $T$ giba po pravcu, pri čemu $s$ označava prijeđeni put, a $t$ označava vrijeme. Pretpostavimo da je kretanje započelo iz ishodišta, odnosno $f(0)=0$ . Tada točka $T$ do trenutka $t_0$ prevali put $s_0=f(t_0)$ , a do trenutka $t>t_0$ put $s=f(t)$ . Prosječna brzina kojom se točka $T$ gibala u vremenu od trenutka $t_0$ do trenutka $t$ jednaka je

$$\frac{s-s_0}{t-t_0}=\frac{\Delta s}{\Delta t}.$$

Ako je $f$ derivabilna funkcija, tada kada $t\to t_0$ gornji izraz teži k trenutačnoj brzini točke $T$ u trenutku $t_0$ ,

$$v_0=v(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{s-s_0}{t-t_0}=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=f'(t_0).$$

Dakle, brzina je derivacija puta po vremenu. Na sličan način možemo pokazati i da je ubrzanje (akceleracija) derivacija brzine po vremenu. Vidimo da u ovom slučaju vrijedi općenita tvrdnja, izrečena na početku poglavlja, o derivaciji kao "mjeri promjene".

Poglavlja

• Tangenta i normala
• Derivacije slijeva i zdesna
• Pravila deriviranja
• Deriviranje implicitno zadane funkcije
• Derivacije elementarnih funkcija
  • Trigonometrijske i arkus funkcije
  • Eksponencijalna i logaritamska funkcija
  • Hiperbolne i area funkcije
  • Potencije
  
  
• Logaritamsko deriviranje

DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta i normala