×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Približno računanje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje parametarski zadane funkcije

Više derivacije i diferencijali

Neka je $f:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ zadana funkcija. Njena derivacija $f':\mathcal{A}\subseteq\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ je također funkcija pa je možemo derivirati. Druga derivacija funkcije $f$ je derivacija funkcije $f'$ , odnosno

$$f''\equiv(f')':\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}\subseteq\mathcal{D}\to \mathbb{R}.$$

Indukcijom definiramo $n$ -tu derivaciju funkcije $f$ kao derivaciju njene $(n-1)$ -ve derivacije,

$$f^{(n)}=\big(f^{(n-1)}\big)'.$$

Primjer 5.9  

a)

Za više derivacije funkcije $y=e^{kx}$ vrijedi

$$y' =e^{kx}\cdot k=k e^{kx} ,$$

$$y''&=ke^{kx}\cdot k=k^2 e^{kx},$$

$$y''' =k^2e^{kx}\cdot k=k^3 e^{kx},$$

pa indukcijom zaključujemo da je $n$ -ta derivacija jednaka

$$y^{(n)}=k^n e^{kx}.$$

b)

Za polinom

$$y=a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$

vrijedi

$$y' = 3a_3 x^2 + 2a_2 x+a_1 ,$$

$$y''&=6a_3x+ 2a_2,$$

$$y''' =6a_3,$$

$$y^{IV} =0,$$

$$y^{V} =0,$$

$$\ \vdots$$

Lako vidimo da općenito za polinom $n$ -tog stupnja $p_n(x)$ vrijedi

$$p_n^{(k)}(x)=0, \qquad k > n.$$

Diferencijale višeg reda definiramo analogno. Neka je $y=f(x)$ dva puta derivabilna funkcija. Diferencijal drugog reda funkcije $f$ je diferencijal njenog diferencijala $dy$ , odnosno

$$d^2 f\equiv d^2 y= d(dy).$$

Pri tome prema formuli (5.9) vrijedi

$$d^2 y=d(dy)=(dy)'dx=(f'(x)dx)'dx=f''(x) dx\cdot dx=f''(x)dx^2.$$

Primijetimo da se ovdje prilikom deriviranja $dx$ tretira kao konstanta.

Iz ove formule slijedi još jedan koristan izraz za drugu derivaciju:

$$f''(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}.$$ (5.11)

Nadalje, ako je $y=f(x)$ $n$ puta derivabilna funkcija, tada je diferencijal $n$ -tog reda funkcije $f$ dan s

$$d^n f\equiv d^n y= d(d^{n-1})y = f^{(n)} dx^n.$$

Približno računanje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje parametarski zadane funkcije