Približno računanje

Jedna od važnih primjena diferencijala je približno računanje. Neka smo vrijednost nezavisne varijable

izmjerili s pogreškom koja po apsolutnoj vrijednosti ne prelazi neki $\Delta x$ . Ako pomoću tako izračunatog

računamo vrijednost funkcije

, tada po (5.8) apsolutna pogreška u tako izračunatoj vrijednosti funkcije približno iznosi

Primjer 5.8 Izračunajmo približno $\sqrt[4]{84}$ koristeći činjenicu da je $\sqrt[4]{81}=3$ . Vrijedi

$\displaystyle \sqrt[4]{84}=\sqrt[4]{81+3}= 3\sqrt[4]{1+\frac{1}{27}}.$

Definirajmo funkciju

$\displaystyle f(x)=3\sqrt[4]{1+x}$

i odaberimo

i $\Delta x=1/27$ . Koristeći diferencijal imamo

$\displaystyle \sqrt[4]{84}$	$\displaystyle =f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+df(x_0)= f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$
	$\displaystyle = f(x_0) + \frac{3}{4}(1+x_0)^{-\frac{3}{4}} \Delta x= 3+\frac{3}{4}\cdot 1\cdot \frac{1}{27}=3.02\dot 7.$

Točna vrijednost na četiri decimale je 3.0274 pa smo u ovom slučaju uz vrlo jednostavne operacije dobili dobru aproksimaciju izbjegavši pri tome računanje četvrtog korijena.

Pri računanju $\sqrt[4]{84}$ zaporavo smo koristili prva dva člana Taylorovog reda odabrane funkcije. Taylorov red je tema kojom se bavi poglavlje 6.5 pa će tamo također biti više riječi o ocjeni pogreške prilikom ovakvog približnog računanja.