×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Logaritamsko deriviranje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Približno računanje

Diferencijal

Za razliku od derivacije koja daje koeficijent smjera tangenta, diferencijal je linearna aproksimacija prirasta funkcije u okolini neke točke.

Definicija 5.3   Neka je funkcija $y=f(x)$ derivabilna u točki $x$ . Diferencijal funkcije $f$ u točki $x$ je izraz

$$dy\equiv df(x)= f'(x)\Delta x.$$

Geometrijsko značenje diferencijala prikazano je na slici 5.4. Ono slijedi iz definicije tangensa kuta u pravokutnom trokutu $\triangle ABC$ s vrhovima $A=(x,f(x))$ , $B=(x+\Delta x, f(x))$ i $C=(x+\Delta x,f(x)+dy)$ jer je $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha=f'(x)$ .

Slika 5.4: Diferencijal

Iz formule (5.1) i definicije 5.3 slijedi

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} - f'(x) =f'(x)-f'(x)=0,$$

pa zaključujemo da razlika $\Delta y - dy$ teži k nuli brže od $\Delta x$ . To se također može vidjeti i na slici 5.4.

Isto tako, za dovoljno male $\Delta x$ vrijedi

$$\Delta y \approx dy.$$ (5.8)

Oznaka "$\approx$ " znači "približno jednako". Što je "dovoljno malo", a što "približno jednako" zavisi od primjene, Više o tome bit će govora u sljedećem poglavlju.

Zanimljiva ilustracija formule (5.8) na kojoj se vidi kako diferencijal sve bolje aproksimira prirast funkcije kada $\Delta x\to 0$ dana je u sljedećoj animaciji. Diferencijal se lako računa pomoću derivacija. Tako je, na primjer,

$$d \sin x\equiv d(\sin x)= (\sin x)' \Delta x= \cos x\Delta x.$$

Također,

$$d x \equiv d(x)=(x)'\Delta x = \Delta x.$$

Iz ove jednakosti i definicije diferencijala slijedi

$$dy=f'(x)dx,$$ (5.9)

odnosno

$$f'(x)=\frac{dy}{dx},$$ (5.10)

što je još jedan način zapisivanja derivacije (usporedite formule (5.10) i (5.1)). Formule (5.8) i (5.10) zapravo znače da krivulju možemo dobro aproksimirati s njenom tangentom za dovoljno male vrijednosti od $\Delta x$ . Ilustracija te činjenice dana je u sljedećoj zanimljivoj animaciji na kojoj se vidi kako razlika između funkcije i njene tangente na intervalu $(x-\Delta x,x+\Delta x)$ postaje sve manje kada $\Delta x\to 0$ . Svojstva diferencijala slična su svojstvima derivacija iz teorema 5.2.

Teorem 5.5   Ako su funkcije $f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ derivabilne na skupu $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ , tada u svakoj točki $x\in\mathcal{A}$ vrijedi

$$d(f+g) =df+dg,$$

$$d(f-g) =df-dg,$$

$$d(f\cdot g) =df\cdot g+f\cdot dg,$$

$$d\bigg(\frac{f}{g}\bigg) =\frac{df\cdot g-f\cdot dg}{g^2},\qquad g(x)\neq 0.$$

Dokaz.

Dokažimo, na primjer, treću tvrdnju teorema. Koristeći teorem 5.2 imamo

$$d(f\cdot g)=(f\cdot g)'dx = (f'\cdot g+f\cdot g') dx = f'dx \cdot g + f\cdot g'dx = df\cdot g +f\cdot dg.$$

Ostale tvrdnje lako se dokažu na sličan način.     

Q.E.D.

Poglavlja

• Približno računanje

Logaritamsko deriviranje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Približno računanje