×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Teoremi diferencijalnog računa     Teoremi diferencijalnog računa     Cauchyjev i Lagrangeov teorem

Fermatov i Rolleov teorem

Teorem 5.6   [Fermat] Neka funkcija $f$ poprima u točki $c\in(a,b)\subseteq\mathcal{D}$ svoju najmanju ili najveću vrijednost na intervalu $(a,b)$ . Ako derivacija u točki $c$ postoji, tada je $f'(c)=0$ .

Dokaz.

Dokažimo teorem za slučaj da funkcija $f$ u točki $c$ poprima najveću vrijednost na intervalu $(a,b)$ (dokaz u slučaju najmanje vrijednosti je sličan). Ako $f$ nije derivabilna u točki $c$ , tada je teorem dokazan. Ako $f'(c)$ postoji, tada u točki $x=c$ postoje i derivacije slijeva i zdesna i one su jednake. Vrijedi (vidi sliku 5.5):

$$f'(c_-) =\lim_{x\to c-0} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\big(\frac{-}{-}\big)\geq 0,$$

$$f'(c_+) =\lim_{x\to c+0} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\big(\frac{-}{+}\big)\leq 0.$$

Kako su ova dva limesa jednaka, oba moraju biti jednaka nuli pa je $f'(c)=0$ .     

Q.E.D.

Slika 5.5: Fermatov teorem

Odabir otvorenog intervala u iskazu Fermatovog teorema je važan stoga što je u slučaju zatvorenog intervala moguće da funkcija poprima najmanju ili najveću vrijednost u točki koja se nalazi u intervalu, a u kojoj derivacija nije nula: ako na primjeru sa slike 5.5 promatramo zatvoreni interval $[a,b]$ , tada funkcija svoju najmanju vrijednost na tom intervalu dostiže upravo u točki $b$ u kojoj je očito $f'(b)\neq 0$ .

Posljedica Fermatovog teorema je i sljedeći korolar.

Korolar 5.1   Funkcija $f$ može imati ekstrem u točki $x\in \mathcal{D}$ samo ako nije derivabilna u $x$ (odnosno, ako $f'$ ne postoji u $x$ ) ili ako je $f'(x)=0$ .

Više govora o ekstremima bit će u poglavlju 5.7.

Teorem 5.7   [Rolle] Neka je funkcija $f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,b]$ , derivabilna na otvorenom intervalu $(a,b)$ te neka je $f(a)=f(b)$ . Tada postoji točka $c\in(a,b)$ takva da je $f'(c)=0$ .

Dokaz.

Razlikujemo dva slučaja. Ako je funkcija $f$ konstantna na intervalu $[a,b]$ , odnosno $f(x)=k$ , $\forall x\in [a,b]$ , tada je $f'(x)=0$ , $\forall x\in (a,b)$ pa je teorem dokazan. Ako $f$ nije konstantna, tada ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost na intervalu $(a,b)$ u nekoj točki $c\in(a,b)$ pa tvrdnja slijedi iz Fermatovog teorema 5.6.     

Q.E.D.

Teoremi diferencijalnog računa     Teoremi diferencijalnog računa     Cauchyjev i Lagrangeov teorem