Monotonost

Predznak derivacije nam također kazuje da li funkcija raste ili pada na nekom intervalu. Pojam rastuće i padajuće (monotone) funkcije dan je u definiciji 4.3. U dokazu sljedećeg teorema koristit ćemo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti 5.9.

Teorem 5.11 Neka je funkcija

derivabilna na intervalu

. Tada vrijedi:

i): funkcija je rastuća na intervalu ako i samo ako je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ ;
ii): funkcija je padajuća na intervalu ako i samo ako je $f'(x)\leq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ ;
iii): ako je za svaki $x\in(a,b)$ , tada je funkcija strogo rastuća na intervalu ;
iv): ako je za svaki $x\in(a,b)$ , tada je funkcija strogo padajuća na intervalu .

Dokaz.

Dokažimo prvu tvrdnju, pri čemu treba dokazati oba smjera.

Neka je rastuća i derivabilna na intervalu . Trebamo dokazati da je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ . Odaberimo proizvoljni $x\in(a,b)$ . Kako je rastuća, za $\Delta x<0$ vrijedi $f(x+\Delta x)\leq f(x)$ pa je

$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0-0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\geq 0.$

S druge strane, za $\Delta x>0$ vrijedi $f(x+\Delta x)\geq f(x)$ pa je

$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0+0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\geq 0.$

Kako je

derivabilna, to je

$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0-0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0+0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\geq 0.$

Točka

je bila proizvoljno odabrana pa zaključujemo da je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ .

Dokažimo drugi smjer. Neka je derivabilna na intervalu i neka je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ . Trebamo dokazati da je rastuća po definiciji 4.3. Odaberimo dvije točke $x_1,x_2\in (a,b)$ , takve da je . Po Lagrangeovom teoremu 5.9 postoji točka $c\in (x_1,x_2)$ takva da je

$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)\geq 0.$

Kako je

, zaključujemo da je nužno $f(x_2)\geq f(x_1)$ , odnosno

je rastuća na intervalu

. S ovim smo dokazali prvu tvrdnju teorema. Dokaz ostalih tvrdnji je sličan.

Q.E.D.

Dok prve dvije tvrdnje teorema vrijede u jednom i u drugom smjeru (ako i samo ako), zadnje dvije tvrdnje vrijede samo u jednom smjeru. Kao primjer zašto kod tih tvrdnji ne vrijedi drugi smjer, možemo uzeti funkciju koja je strogo rastuća na čitavom skupu $\mathbb{R}$ , ali je .