L'Hospitalovo pravilo i računanje limesa neodređenih oblika

Teorem 5.10 [L'Hospitalovo pravilo] Neka za funkcije $f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to c}g(x)=0,$

pri čemu je $c\in(a,b)\subseteq\mathcal{D}$ . Neka su

neprekidne na skupu

i neprekidno derivabilne na skupu $(a,c)\cup (c,b)$ . Neka je $g(x)\neq 0$ za svaki $x\in(a,c)\cup (c,b)$ . Ako postoji $\lim_{x\to c}f'(x)/g'(x)=k$ , pri čemu je $k\in \mathbb{R}$ ili $k=+\infty$ ili $k=-\infty$ , tada je

$\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k.$

Važno je uočiti da pretpostavke L'Hospitalovog teorema traže samo da limes $\lim_{x\to c}f'(x)/g'(x)$ postoji, a ne da je $g'(c)\neq 0$ . Ukoliko dodatno vrijedi $g'(c)\neq 0$ , odnosno $g'(x)\neq 0$ za svaki $x\in(a,b)$ , tada možemo iskoristiti teorem 4.3 pa dokaz L'Hospitalovog teorema postaje još jednostavniji:

Napomena 5.1

i): L'Hospitalovo pravilo vijedi i kada $x\to +\infty$ ili $x\to -\infty$ , za neodređeni oblik $\infty/\infty$ te za limese i derivacije slijeva ili zdesna.
ii): L'Hospitalovo pravilo se može primijeniti više puta uzastopce ako se ponovo dobije jedan od neodređenih oblika ili $\infty/\infty$ te ako nove funkcije ispunjavaju uvjete teorema 5.12 ili neke njegove varijante iz prethodne točke (vidi primjer 5.11).
iii): Ostali neodređeni oblici se pogodnim transformacijama mogu svesti na jedan od oblika ili $\infty/\infty$ (vidi primjer 5.11).

Primjer 5.11

a)

Limes kojeg smo izračunali u primjeru 4.6 možemo još jednostavnije izračunati pomoću L'Hospitalovog pravila:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)= \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1.$

b)

U sljedećem slučaju L'Hospitalovo pravilo moramo primijeniti dva puta:

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{e^x}= \big(\frac{\infty}{\infty}\bi... ...x}{e^x}= \big(\frac{\infty}{\infty}\big)= \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{e^x}=0.$

Iz ovog primjera indukcijom možemo zaključiti da eksponencijalna funkcija s bazom većom od 1 raste brže od bilo koje potencije!

c)

U ovom primjeru potrebno je izvršiti nekoliko transformacija. Izračunajmo

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} x^x=\big(0^0\big)=\lim_{x\to 0+0} e^{x\ln x}= e^{\lim_{x\to 0+0} x\ln x}.$

U zadnjoj jednakosti koristili smo neprekidnost funkcije

i teorem 4.7 (vidi primjer 4.9). Izračunajmo limes u eksponentu posebno:

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} x\ln x$	$\displaystyle =(0\cdot (-\infty))= \lim_{x\to 0+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \... ...\frac{-\infty}{+\infty}\big)= \lim_{x\to 0+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$
	$\displaystyle =\lim_{x\to 0+0} -x =0_{-}.$

Dakle, traženi limes je

$\displaystyle \lim_{x\to 0+0} x^x=e^0=1.$

d)

Sljedeći primjer također možemo primijeniti na široku klasu zadataka:

$\displaystyle \lim_{x\to 1} \bigg(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\bigg)$	$\displaystyle = (\infty-\infty)= \lim_{x\to 1} \bigg(\frac{x\ln x - (x-1)}{(x-1)\ln x}\bigg)$
	$\displaystyle =\big(\frac{0}{0}\big)= \lim_{x\to 1}\frac{\ln x+x\frac{1}{x}-1}{\ln x +(x-1)\frac{1}{x}}$
	$\displaystyle =\big(\frac{0}{0}\big)= \lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} =\frac{1}{2}.$