×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Niz realnih brojeva     Niz realnih brojeva     Omeđenost, monotonost i konvergencija

Gomilište i podniz

Definicija 6.5   Broj $r$ je gomilište niza $\{a_n\}$ ako se u svakoj $\varepsilon$ -okolini broja $r$ nalazi beskonačno mnogo članova niza, odnosno

$$% (\forall \varepsilon > 0) (\forall n\in \mathbb{N}) (\exists n'\in \mathbb{N}, n'>n) \textrm{ takav da } \vert a_{n'}-r\vert<\varepsilon .$$

Dalje, $+\infty$ je gomilšte niza $\{a_n\}$ ako

$$% (\forall r > 0) (\forall n\in \mathbb{N}) (\exists n'\in \mathbb{N}, n'>n) \textrm{ takav da } a_{n'}>r,$$

a $-\infty$ je gomilšte niza $\{a_n\}$ ako

$$% (\forall r < 0) (\forall n\in \mathbb{N}) (\exists n'\in \mathbb{N}, n'>n) \textrm{ takav da } a_{n'}<r.$$

Najveće gomilište zove se limes superior i označava s $\limsup$ , a najmanje gomilište zove se limes inferior i označava s $\liminf$ .

Limes je ujedno i gomilište, dok gomilište ne mora biti limes. Nadalje, razlika između gomilišta i limesa je u tome što se unutar svake $\varepsilon$ -okoline gomilišta $r$ (koje nije ujedno i limes) nalazi beskonačno članova niza, ali se i izvan te okoline također nalazi beskonačno članova niza. Ukoliko je niz konvergentan, tada je očito

$$% \lim a_n=\limsup a_n=\liminf a_n.$$

Primjer 6.3  

a)

Niz

$$% a_n=(-1)^n \frac{n}{n+1}, \textrm{ odnosno } -\frac{1}{2},\frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{5},-\frac{5}{6},\frac{6}{7},\ldots$$

je divergentan i ima dva gomilišta $1$ i $-1$ . Očito je $\liminf a_n=-1$ i $\limsup a_n=1$ .

b)

Niz

$$% a_n= n(1-(-1)^n), \textrm{ odnosno } 2,0,6,0,10,0,\ldots$$

je također divergentan i ima gomilišta 0 i $+\infty$ te vrijedi $\liminf a_n=0$ i $\limsup a_n=+\infty$ .

Definicija 6.6   Podniz niza $a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ je svaka kompozicija $a\circ n$ , gdje je $n:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strogo rastuća funkcija. $K$ -ti član podniza $a\circ n$ je

$$% (a\circ n)(k) =a(n(k))=a_{n(k)}=a_{n_k}.$$

Drugim riječima, podniz se dobije iz polaznog niza preskakanjem članova. Podniz je očito ponovo niz.

Na primjer, podniz $\{a_{2n}\}$ niza

$$a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}$$

glasi

$$% \frac{2}{3}, \frac{4}{5},\frac{6}{7},\ldots,$$

a podniz $\{a_{2n-1}\}$ istog niza glasi

$$% -\frac{1}{2},-\frac{3}{4},-\frac{5}{6},\ldots$$

Sljedeći primjer opisuje ponašanje jednog važnog niza.

Primjer 6.4   Niz

$$% a_n=q^n, \ q\in R,\quad \textrm{ odnosno } \quad q,q^2,q^3,q^4,\cdots,$$

zove se geometrijski niz. Za $\vert q\vert<1$ niz konvergira prema nuli. Za $q=1$ niz je stacionaran, $1,1,1,\ldots$ , i konvergira prema 1. Za $q=-1$ niz glasi $-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$ pa ima dva gomilišta $1$ i $-1$ . Za $\vert q\vert>1$ niz divergira. Posebno, za $q>1$ niz divergira prema $+\infty$ po definiciji 6.4, odnosno konvergira prema $+\infty$ po napomeni 6.1.

Kombinirajući definicije podniza i gomilišta 6.5 i 6.6, zaključujemo sljedeće:

i)

broj $r$ je gomilište niza $\{a_{n}\}$ ako i samo ako postoji (barem jedan) podniz $\{a_{n_k}\}$ koji konvergira prema $r$ ;

ii)

ako je niz $\{a_{n}\}$ konvergentan, tada za svaki podniz $\{a_{n_k}\}$ vrijedi

$$% \lim_{k\to \infty} a_{n_k} = \lim_{n\to\infty} a_n.$$

Niz realnih brojeva     Niz realnih brojeva     Omeđenost, monotonost i konvergencija