×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Gomilište i podniz     Niz realnih brojeva     Broj

Omeđenost, monotonost i konvergencija

U ovom poglavlju dokazat ćemo četiri teorema koji povezuju monotonost, omeđenost i konvergenciju nizova i podnizova.

Teorem 6.2   Svaki konvergentan niz je omeđen.

Dokaz.

Neka je $a=\lim a_n$ . Odaberimo $\varepsilon >0$ . Tada se članovi niza

$$a_{n_{\varepsilon }},a_{n_{\varepsilon }+1},a_{n_{\varepsilon }+2},\ldots$$

nalaze unutar intervala $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ . To znači da za svaki $n$ vrijedi

$$% \min\{a_1,a_2,\ldots, a_{n_{\varepsilon }-1},a-\varepsilon \} \leq a_n \leq \max\{a_1,a_2,\ldots, a_{n_{\varepsilon }-1},a+\varepsilon \}$$

i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Teorem 6.3   Svaki niz ima monotoni podniz.

Dokaz.

Neka je zadan niz $\{a_n\}$ . Definirajmo skup

$$% M=\{ m\in \mathbb{N}: n\geq m \Rightarrow a_n\geq a_m \}.$$

Na primjer, ako je niz zadan s

$$% a_1=1, a_2=3, a_3=2, a_4=4, a_5=5 \textrm{ i } a_n=n \textrm{ za } n\geq 6,$$

tada je $1\in M$ , $2\not\in M$ , $3\in M$ . Skup $M\subseteq \mathbb{N}$ je ili konačan ili beskonačan pa svaki od tih slučajeva razmatramo posebno.

Ako je skup $M$ beskonačan, tada u njemu možemo odabrati strogo uzlazni niz

$$% n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots.$$

Prema definiciji skupa $M$ vrijedi

$$% a_{n_1}\leq a_{n_2}\leq \cdots \leq a_{n_k}\leq \cdots.$$

Dakle, $\{a_{n_k}\}$ je rastući podniz niza $\{a_{n}\}$ i teorem je dokazan.

Ako je skup $M$ konačan, odaberimo $n_1\in \mathbb{N}$ koji je veći od svih elemenata od $M$ . Tada postoji $n_2\in\mathbb{N}$ takav da je $n_2>n_1$ i $a_{n_2}<a_{n_1}$ , jer bi u protivnom $n_1$ bio iz $M$ . Očito je i $n_2\not\in M$ . Nastavljajući ovim postupkom dobivamo strogo uzlazni niz

$$% n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots,$$

čiji su elementi iz skupa $\mathbb{N}\setminus M$ . Vrijedi

$$% a_{n_1}>a_{n_2}> \cdots > a_{n_k}> \cdots$$

pa je $\{a_{n_k}\}$ strogo padajući podniz niza $\{a_{n}\}$ .     

Q.E.D.

Teorem 6.4   Svaki monoton i omeđen niz je konvergentan.

Dokaz.

Dokazat ćemo slučaj kada je niz $\{a_n\}$ padajući. Neka je $a$ najveća donja međa skupa čiji su elementi članovi niza, $a=\inf \{ a_1,a_2,\cdots \}$ . Tada

$$% (\forall \varepsilon >0) (\exists n_{\varepsilon }\in\mathbb{N}) \textrm{ takav da } a_{n_{\varepsilon }}<a+\varepsilon .$$

Naime, u protivnom bi postojao $\varepsilon >0$ takav da je $a_n\geq a+\varepsilon$ za svaki $n$ , što je u suprotnosti s pretpostavkom da je $a$ infimum.

Niz je padajući pa za $n\geq n_{\varepsilon }$ vrijedi

$$% a\leq a_n\leq a_{n_{\varepsilon }} \leq a+\varepsilon ,$$

odnosno $\vert a_n-a\vert<\varepsilon$ . Dakle, definicija 6.1 povlači $\lim a_n=a$ i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Koristeći ovaj teorem u poglavlju 6.1.3 dat ćemo definiciju broja $e$ , odnosno baze prirodnih logaritama. Prethodna dva teorema nam također koriste za dokazivanje poznatog Bolzano-Weierstrassovog teorema.

Teorem 6.5   [Bolzano--Weierstrass]Svaki omeđen niz ima konvergentan podniz.

Dokaz.

Po teoremu 6.3 svaki niz ima monotoni podniz. Ako je zadani niz omeđen, tada je i monotoni podniz omeđen pa podniz konvergira po teoremu 6.4.     

Q.E.D.

Gomilište i podniz     Niz realnih brojeva     Broj