×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Svojstva limesa     Niz realnih brojeva     Dva važna limesa

Cauchyjev niz

Prilikom dokazivanja konvergencije pomoću osnovne nejednadžbe konvergencije potrebno je poznavati limes niza. No, konvergenciju niza možemo ispitati i bez poznavanja limesa.

Definicija 6.7   Niz $\{a_n\}$ je Cauchyjev niz ako

$$% (\forall \varepsilon > 0) (\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb{... ...rall k\in \mathbb{N}) \textrm{ vrijedi } \vert a_{n+k}-a_n\vert<\varepsilon .$$

Teorem 6.8   Niz je konvergentan ako i samo ako je Cauchyjev.

Primjer 6.7   Niz $a_n=\frac{1}{n}$ je Cauchyjev pa prema tome konvergira. Zaista,

$$% \left\vert \frac{1}{n+k}-\frac{1}{n}\right\vert< \varepsilon \... ...c{1}{n+k}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon +\frac{1}{n+k}.$$

Posljednja nejednakost je sigurno ispunjena čim je $\frac{1}{n}<\varepsilon$ , odnosno možemo uzeti $n_{\varepsilon }=[\frac{1}{\varepsilon }]+1$ .