Dva važna limesa

☰ matematika1

Cauchyjev niz Niz realnih brojeva Red realnih brojeva

Dva važna limesa

Pokažimo

$\displaystyle % \lim \sqrt[n]{a}=1 \quad \textrm{za} \quad a>0,$

tako što ćemo riješiti osnovnu nejednadžbu konvergencije.

Za tvrdnja je očita. Za vrijedi

$\displaystyle % \vert\sqrt[n]{a} -1\vert<\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt[n]{a} -1<\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt[n]{a}<1+\varepsilon .$

Logaritmirajući obje strane dobivamo

$\displaystyle % \frac{1}{n}\ln a < \ln (1+\varepsilon ) \Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon )} < n$

odnosno

$\displaystyle % n_{\varepsilon }=\left[\frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon )} \right] +1.$

vrijedi

$\displaystyle % \vert\sqrt[n]{a} -1\vert<\varepsilon \Leftrightarrow 1-\sqrt[n]{a}<\varepsilon \Leftrightarrow 1-\varepsilon <\sqrt[n]{a}.$

Logaritmirajući obje strane dobivamo

$\displaystyle % \ln (1-\varepsilon )< \frac{1}{n}\ln a \Leftrightarrow n> \frac{\ln a}{\ln (1-\varepsilon )}.$

Nejednakost je promijenila smjer prilikom dijeljenja s negativnim brojem $\ln (1-\varepsilon )$ . Dakle,

$\displaystyle % n_{\varepsilon }=\left[\frac{\ln a}{\ln (1-\varepsilon )} \right] +1.$

Gornji limes mogli smo odrediti i primjenjujući proširenje po neprekidnosti. Naime, u ovom slučaju je

$\displaystyle % \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{x\to +\infty} \sqrt[x]{a}.$

Sada na $\lim_{x\to +\infty} \sqrt[x]{a}$ možemo primijeniti tehnike za nalaženje limesa funkcija realne varijable (logaritamsko deriviranje, L'Hospitalovo pravilo , ...). Dakle,

$\displaystyle % y=\lim_{x\to +\infty} a^{1/x} \Leftrightarrow \ln y = \ln (\lim_{x\to +\infty} a^{1/x}) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} \ln a = 0$

pa je

Postupak proširenja po neprekidnosti se često koristi. Tako, na primjer, iz definicije broja iz poglavlja 6.1.3 slijedi

$\displaystyle % e=\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x,$

a zamjenom

slijedi

$\displaystyle % e=\lim_{t\to 0} (1+ t)^{1/t}.$

Slika 6.1 prikazuje

**Slika 6.1:** Proširenje po neprekidnosti
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/e.eps,width=10.2cm} \end{center}\end{figure}$

Zadatak 6.2 Pokažite

$\displaystyle % \lim \sqrt[n]{n}=\lim_{x\to +\infty} \sqrt[x]{x}=1$

tako što ćete riješiti osnovnu nejednadžbu konvergencije te pomoću proširenja po neprekidnosti.

Cauchyjev niz Niz realnih brojeva Red realnih brojeva