×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Alternirani redovi     NIZOVI I REDOVI     Red funkcija

Niz funkcija

U ovom poglavlju definirat ćemo niz funkcija, konvergenciju u točki te običnu i uniformnu konvergenciju na nekom skupu.

Definicija 6.12   Neka je $D\subseteq \mathbb{R}$ . Označimo s $\mathbb{R}^D$ skup svih funkcija iz $D$ u $\mathbb{R}$ . Niz funkcija je svaka funkcija $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}^D$ , pri čemu je $f(n)=f_n:D\to \mathbb{R}$ . Funkcija $f_n\equiv f_n(x)$ je $n$ -ti član niza.

Niz funkcija označavamo s $\{ f_n\}$ , $\{f_n(x)\}$ ,

$$% f_1,f_2,f_3,\ldots,f_n, \ldots, \quad \textrm{ili}\quad f_1(x),f_2(x),f_3(x),\ldots,f_n(x), \ldots.$$

Na primjer, niz funkcija zadan s $f_n(x)=x^{n-1}$ glasi

$$1,x,x^2,x^3,x^4,\ldots, x^{n-1},\ldots .$$ (6.4)

Definicija 6.13   Niz funkcija $\{ f_n\}$ konvergira u točki $x$ prema funkciji $f_0$ ako niz realnih brojeva $\{f_n(x)\}$ konvergira prema $f_0(x)$ . Niz funkcija $\{ f_n\}$ konvergira po točkama ili obično prema funkciji $f_0$ na skupu $A$ ako $\{f_n(x)\}\to f_0(x)$ za $\forall x\in A$ . Simbolički zapisujemo:

$$% (\forall x\in A) (\forall \varepsilon >0) (\exists n_{x,\vareps... ...geq n_{x,\varepsilon } \Rightarrow \vert f_n(x)-f_0(x)\vert\leq \varepsilon .$$

Funkcija $f_0$ je limes niza funkcija $\{f_n(x)\}$ , odnosno

$$\lim_{n\to \infty} f_n=f_0.$$

Ako $n_{x,\varepsilon }$ ne ovisi o $x$ već samo o $\varepsilon$ , odnosno $n_{x,\varepsilon }\equiv n_{\varepsilon }$ , niz funkcija $\{ f_n\}$ konvergira uniformno ili jednoliko prema funkciji $f_0$ .

Iz definicije slijedi da je uniformna konvergencija jače svojstvo, odnosno niz funkcija koji konvergira uniformno konvergira i po točkama, dok obrnuto općenito ne vrijedi.

Promotrimo konvergenciju niza funkcija (6.4). Iz svojstava geometrijskog niza danog u primjeru 6.4, vidimo da niz konvergira za $x\in (-1,1]$ prema funkciji $f_0:(-1,1]\to \{0,1\}$ zadanoj s

$$% f_0(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{ za } -1<x<1,\\ 1 & \textrm{ za } x=1. \end{array}\right.$$

Niz konvergira obično što ćemo vidjeti rješavajući osnovnu nejednadžbu konvergencije. Promotrimo prvo točke $x=0$ i $x=1$ . Za $x=0$ niz je stacionaran počevši od drugog člana pa je $n_{0,\varepsilon }=2$ za $\forall \varepsilon >0$ . Za $x=1$ niz je stacionaran od početka pa je $n_{0,\varepsilon }=1$ za $\forall \varepsilon >0$ . Za $0<x<1$ vrijedi

$$% \vert x^n-0\vert<\varepsilon \Leftrightarrow n\ln x <\varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{\varepsilon }{\ln x}.$$

Prilikom dijeljenja negativnim brojem $\ln x$ nejednakost je promijenila smjer. Dakle, $n_{x,\varepsilon }=\left[\frac{\varepsilon }{\ln x}\right]+1$ . Slično se dobije u slučaju $-1<x<0$ pa se radi o običnoj konvergenciji. Konvergencija niza prikazana je na slici 6.2.

Slika 6.2: Konvergencija niza funkcija

Premda su svi članovi niza $\{x^{n-1}\}$ neprekidne funkcije, limes nije neprekidna funkcija. To se ne može dogoditi kada se radi o uniformnoj konvergenciji.

Teorem 6.14   Ako niz neprekidnih funkcija $\{ f_n\}$ konvergira uniformno prema funkciji $f_0$ , tada je $f_0$ također neprekidna funkcija.

Zadatak 6.3   Pokažite da niz neprekidnih funkcija $f_n(x)=\frac{\sin nx}{n}$ konvergira uniformno prema neprekidnoj funkciji $f_0(x)=0$ na čitavom skupu $\mathbb{R}$ .

Alternirani redovi     NIZOVI I REDOVI     Red funkcija