×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Apsolutna vrijednost     OSNOVE MATEMATIKE     Trigonometrijski oblik

Kompleksni brojevi

U ovom poglavlju definirat ćemo skup kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$ , osnovne računske operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva, trigonometrijski oblik kompleksnog broja i operacije s brojevima u trigonometrijskom obliku te eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Pretpostavljamo da čitatelj poznaje osnovna svojstva trigonometrijskih i arkus funkcija iz poglavlja 4.6.5 i 4.6.6.

Motivacija za uvođenje kompleksnih brojeva je sljedeća: jednadžba $x^2-1=0$ ima dva rješenja u skupu $\mathbb{R}$ , $x=1$ i $x=-1$ , dok slična jednadžba $x^2+1=0$ nema niti jedno rješenje. Stoga se imaginarna jedinica $i$ definira tako što su $x=i$ i $x=-i$ rješenja jednadžbe $x^2+1=0$ . Iz ove definicije slijedi

$$% i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^5=i, \quad i^6=-1,\ \ldots.$$

Definicija 1.19   Skup kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$ , gdje su $x,y\in \mathbb{R}$ . Posebno je $0=0+i0$ . Realni broj $x=\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z$ je realni dio kompleksnog broja $z$ , a realni broj $y=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$ . Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. Konjugirano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj $\bar z=x-iy$ . Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Neka su $z_1=x_1+iy_1$ i $z_2=x_2+iy_2$ dva kompleksna broja. Računske operacije su definirane na sljedeći način:

$$z_1+z_2 = x_1+x_2+i(y_1+y_2),$$

$$z_1-z_2 = x_1-x_2+i(y_1-y_2),$$

$$z_1\cdot z_2 = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2$$

$$= x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1),$$

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2}$$

$$= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0.$$

Zadatak 1.5   Dokažite da za $z,z_1,z_2\in \mathbb{C}$ vrijedi:

a)

$\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$ ,

b)

$\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2$ ,

c)

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}= \frac{\bar z_1}{\bar z_2}$$ , za $z_2\neq 0$ ,

d)

$\Bar{\Bar{z}}=z$ ,

e)

$z=\bar z \Leftrightarrow z\in \mathbb{R}$ ,

f)

$z+\bar z=2 \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z$ ,

g)

$z-\bar z= 2i\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z$ ,

h)

$\bar z\cdot z=z\cdot \bar z=\vert z\vert^2$ ,

i)

$\vert z\vert=0 \Leftrightarrow z=0$ ,

j)

$\vert z_1+z_2\vert\leq \vert z_1\vert+\vert z_2\vert$ (nejednakost trokuta).

Kompleksnom broju $z=x+iy$ jednoznačno je pridružen uređeni par $(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , odnosno točka $T=(x,y)$ u ravnini, kao što se vidi na slici 1.2.

Slika 1.2: Kompleksni broj

Iz slike 1.2 se vidi zašto su formule za zbrajanje kompleksnih brojeva slične formulama za zbrajanje vektora, odnosno zašto se posebno zbrajaju realni, a posebno imaginarni dijelovi.

Poglavlja

• Trigonometrijski oblik
• Eksponencijalni oblik

Apsolutna vrijednost     OSNOVE MATEMATIKE     Trigonometrijski oblik