☰ matematika1

Elementarne matrice transformacija LINEARNA ALGEBRA Rang matrice

Linearna nezavisnost

Neka su $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k \in \mathcal{M}_{n1}$ stupčani vektori. Vektor

$\displaystyle % \mathbf{a}=\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k, \quad \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R},$

zove se linearna kombinacija vektora $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ .

Definicija 2.3 Vektori $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno nezavisni ako za sve skalare $\lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$

$\displaystyle % \lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k= \mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1= \cdots = \lambda_k=0.$

U protivnom su vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ linearno zavisni.

Drugim riječima, $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno zavisni ako i samo ako postoje $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ takvi da je

$\displaystyle % \lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k= \mathbf{0}$

i da je barem jedan od $\lambda_i$ različit od nule, odnosno

$\displaystyle % \vert\lambda_1\vert+\vert\lambda_2\vert+\cdots + \vert\lambda_k\vert > 0.$

Ovaj uvjet još zapisujemo kao $\sum_i \vert\lambda_i\vert>0$ . Ekvivalentna formulacija gornjeg uvjeta glasi $\sum_i \lambda_i^2>0$ . Linearna zavisnost skupa vektora znači i da je jedan od tih vektora linearna kombinacija preostalih - ako je na primjer $\lambda_1\neq 0$ , tada je

$\displaystyle % \mathbf{a}_1=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\mathbf{a}_2 - \cdots -\frac{\lambda_k}{\lambda_1}\mathbf{a}_k.$

Linearna kombinacija i linearna nezavisnost retčanih vektora definira se analogno. Bez dokaza navodimo sljedeće tvrdnje:

a)

ako je neki od vektora $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ nul-vektor, tada su ti vektori linearno zavisni,

b)

ako među vektorima $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ ima jednakih, tada su ti vektori linearno zavisni,

c)

ako su vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ linearno nezavisni, tada je svakih

vektora izabranih između tih vektora također linearno nezavisno,

d)

ako su vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ linearno zavisni, tada su i vektori

$\displaystyle % \mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k, \mathbf{a}_{k+1},\cdots, \mathbf{a}_q$

linearno zavisni za bilo koje vektore $\mathbf{a}_{k+1},\cdots, \mathbf{a}_q$ ,

e)

bilo kojih

vektora iz skupa $\mathcal{M}_{n1}$ (ili $\mathcal{M}_{1n}$ ) su linearno zavisni.

Primjer 2.4 Vektori $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4$ definirani s

$\displaystyle % \mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, \quad ... ... \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_4=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},$

su nezavisni, jer

$\displaystyle % \lambda_1\mathbf{e}_1+\lambda_2\mathbf{e}_2+\lambda_3\mathbf{e}_3+ \lambda_4\mathbf{e}_4=\mathbf{0}$

povlači $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$ . Dodamo li ovom skupu peti vektor $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}\alpha&\beta&\gamma&\delta\end{bmatrix}^T$ , tada su vektori $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4,\mathbf{a}$ linearno zavisni jer je jedan od njih linearna kombinacija ostalih,

$\displaystyle % \mathbf{a}=\alpha\mathbf{e}_1+\beta\mathbf{e}_2+\gamma\mathbf{e}_3+\delta\mathbf{e}_4.$

Napomena 2.2 Skup vektora $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\}$ tvori jednu bazu četverodimenzionalnog vektorskog prostora $\mathcal{M}_{4}$ . Općenito, svaki skup od

linearno nezavisnih vektora

-dimenzionalnog prostora tvori jednu bazu tog prostora te se svaki vektor iz tog prostora može prikazati kao linearna kombinacija vektora baze.

Elementarne matrice transformacija LINEARNA ALGEBRA Rang matrice