×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Linearna nezavisnost     LINEARNA ALGEBRA     Kronecker-Capellijev teorem

Rang matrice

Rang matrice $A$ jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih stupaca. Maksimalan broj linearno nezavisnih stupaca jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih redaka matrice (ovu tvrdnju navodimo bez dokaza). Iz toga slijedi da je

$$% \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A^T).$$

Također, ako je $A$ tipa $m\times n$ , tada je očito

$$% \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)\leq \min\{ m,n\}.$$

Iz primjera 2.4 zaključujemo kako jedinična matrica $I_n$ ima rang $n$ . Matrice $M_i$ iz poglavlja 2.4 te matrice $D_i$ i $P_{ij}$ iz poglavlja 2.4.3, također uvijek imaju rang jednak dimenziji.

Iz ovih primjera zaključujemo da rang matrice lako možemo raspoznati iz trokutastog oblika. Kako elementarne transformacije iz poglavlja 2.4 ne mijenjaju rang matrice, zaključujemo da je postupak traženja ranga istovjetan s postupkom Gaussove eliminacije. Tako je, dakle, rang matrice sustava iz primjera 2.1 jednak tri, kao i rang matrice sustava iz primjera 2.2, dok je rang matrice sustava iz primjera 2.3 jednak dva, a rang proširene matrice sustava iz istog primjera jednak tri.

Definicija 2.4   Matrice $A$ i $B$ istog tipa su ekvivalentne ako imaju isti rang. Pišemo $A\sim B$ .

Teorem 2.4   Ako su matrice $A$ i $B$ ekvivalentne, tada se matrica $B$ može dobiti iz matrice $A$ pomoću elementarnih transformacija koje se sastoje od množenja retka s brojem različitim od nule, zamjene dvaju redaka i dodavanja jednog retka drugome te istih operacija sa stupcima.

Dokaz.

Pomoću navedenih elementarnih transformacija matricu $A$ možemo svesti na oblik

$$% \begin{bmatrix}1 & & & & & & \\ & 1 & & & & & \\ & & \ddots & &... ... & & & \\ & & & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{bmatrix},$$

pri čemu je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)$ jednak broju dijagonalnih elemenata koji su jednaki jedan. Kako $A$ i $B$ imaju isti rang, to i matricu $B$ možemo svesti na isti oblik. Sada lako nađemo niz elementarnih transformacija koje matricu $A$ prebacuju u matricu $B$ .     

Q.E.D.

Kako se sve navedene elementarne transformacije mogu izvesti množenjem matrice $A$ elementarnim matricama transformacija bilo s lijeva bilo s desna, a te matrice su regularne (vidi poglavlje 2.8), zaključujemo da je $A\sim B$ ako i samo ako postoje regularne matrice matrice $S$ i $T$ takve da je

$$% B=SAT.$$

Linearna nezavisnost     LINEARNA ALGEBRA     Kronecker-Capellijev teorem