☰ matematika1

Skalarni produkt VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Mješoviti produkt

Vektorski produkt

Definicija 3.5 Vektorski produkt vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ je vektor $\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ takav da je

$\displaystyle \vert\mathbf{c}\vert=\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{b}\vert \sin \angle(\mathbf{a},\mathbf{b}).$

Pored toga, ako je $\vert\mathbf{c}\vert>0$ , tada je

$\displaystyle \mathbf{c}\perp\mathbf{a}\quad \wedge \quad \mathbf{c}\perp\mathbf{b},$

pri čemu uređena trojka vektora $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ čini desni sustav (slika 3.10).

**Slika 3.10:** Vektorski produkt
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/vekp.eps,width=6.0cm}\end{center}\end{figure}$

Vektorski produkt ima sljedeća svojstva:

V1.

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ ako je $\mathbf{a}=\mathbf{0}$ ili $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ ili ako su vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ kolinearni,

V2.

vrijedi

	$\displaystyle \mathbf{i}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}\times\mathbf{k}=\mathbf{0},$
	$\displaystyle \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k},\quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i},\quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j},$
	$\displaystyle \mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k},\quad \mathbf{k}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i},\quad \mathbf{i}\times\mathbf{k}=\mathbf{-}j,$

V3.

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ (anti-komutativnost),

V4.

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+ \mathbf{a}\times\mathbf{c}$ (distributivnost),

V5.

$\lambda(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=(\lambda\mathbf{a})\times\mathbf{b}= \mathbf{a}\times (\lambda\mathbf{b})$ (homogenost),

V6.

norma $\vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\vert$ jednaka je površini paralelograma što ga razapinju vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ (slika 3.11).

**Slika 3.11:** Modul vektorskog produkta
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/mvp.eps,width=8.6cm}\end{center}\end{figure}$

U pravokutnom koordinatnom sustavu vektorski produkt računamo pomoću determinante.

Teorem 3.3 Ako je

$\displaystyle % \mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k},$

tada je

$\displaystyle % \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_yb_z-a_zb_y)\, \mathbf{i} +(a_zb_x-a_xb_z)\, \mathbf{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\, \mathbf{k},$

odnosno

$\displaystyle % \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}.$

Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz svojstava V2, V4 i V5.

Q.E.D.

Napomena 3.2 Svojstva vektorskog produkta odgovaraju svojstvima determinanti iz poglavlja 2.9.1:

prvi dio svojstva V2 odgovara svojstvu D4 koje kaže da je determinanta s dva jednaka retka jednaka nuli,
svojstvo V3 odgovara svojstvu D3 koje kaže da zamjenom dvaju redaka determinanta mijenja predznak,
svojstva V4 i V5 odgovaraju svojstvu D5.

Definicija vektorskog produkta 3.5 i teorem 3.3 omogućuju računanje površine poligonalnih likova u ravnini.

Primjer 3.7 Izračunajmo površinu trokuta $\triangle ABC$ zadanog s

$\displaystyle % A=(1,2,3),\qquad B=(0,-1,2), \qquad C=(3,3,0).$

Površina trokuta jednaka je polovici površine paralelograma razapetog s vektorima $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ (slika 3.12). Kako je

$\displaystyle % \overrightarrow{AB}=\{-1,-3,-1\}, \qquad \overrightarrow{AC}=\{2,1,-3\},$

vrijedi

$\begin{displaymath}\begin{split}P_{\triangle ABC}&=\frac{1}{2}\vert\overrightarr... ...k}\, (-1+6)\vert=\frac{1}{2}\sqrt{150}\approx 6.12. \end{split}\end{displaymath}$

Uočimo da smo na jednostavan način riješili naočigled složeni problem, jer smo našli površinu trokuta smještenog u prostoru, a nismo ga morali niti skicirati. Na isti način možemo provjeriti leže li tri točke na pravcu, jer će u tom slučaju površina trokuta biti nula.

Na sličan način možemo izračunati površinu bilo kojeg poligonalnog lika u prostoru, jer svaki takav lik možemo podijeliti na trokute.

**Slika 3.12:** Površina trokuta
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/ptrok.eps,width=10.8cm}\end{center}\end{figure}$

Zadatak 3.2 Izračunajte površinu trokuta iz prethodnog primjera pomoću paralelograma razapetog s vektorima $\overrightarrow{BA}$ i $\overrightarrow{BC}$ . Može li se zadatak riješiti ako promatramo paralelogram razapet s vektorima $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ ?

Skalarni produkt VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Mješoviti produkt