×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Neprekidnost     Neprekidnost     Vrste prekida

Svojstva neprekidnih funkcija

Teorem 4.6   Neka su funkcije $f$ i $g$ neprekidne u točki $x$ (na skupu $\mathcal{A}$ ). Tada su u točki $x$ (na skupu $\mathcal{A}$ ) neprekidne i funkcije $f+g$ , $f-g$ , $f\cdot g$ i $$\frac{f}{g}$$ uz $g(x)\neq 0$ ( $g(x)\neq 0$ za svaki $x\in\mathcal{A}$ ).

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teorema 4.3.

Teorem 4.7  

i)

Ako je funkcija $f$ neprekidna u točki $x$ , a funkcija $g$ neprekidna u točki $y=f(x)$ , tada je kompozicija $g\circ f$ neprekidna u točki $x$ .

ii)

Ako je

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=y$$

i ako je funkcija $g$ neprekidna u točki $y$ , tada je

$$\lim_{x\to x_0} g(f(x))=g\big(\lim_{x\to x_0}f(x)\big) = g(y).$$

Druga tvrdnja teorema nam olakšava nalaženje limesa, jer nam omogućava da s limesom "uđemo" u neprekidnu funkciju.

Primjer 4.9  

a)

Zbog neprekidnosti funkcije $e^x$ i teorema 4.7 ii) vrijedi

$$\lim_{x\to +\infty} e^{\frac{2x^2-1}{1-x^2}} = e^{\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-1}{1-x^2}} = e^{-2}=\frac{1}{e^2}.$$

b)

Broj $e$ je definiran kao (vidi poglavlje 6.1.3)

$$e=\lim_{x\to +\infty} \bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^x = \lim_{x\to 0+0} (1+x)^{\frac{1}{x}}.$$

Zbog neprekidnosti funkcija $\ln x$ i $\sqrt{x}$ i teorema 4.7 ii) vrijedi

$$\lim_{x\to 0+0} \ln (1+x)^{\frac{1}{2x}} = \ln \big(\lim_{x\to 0+0} (1+x)^{\frac{1}{2x}}\big) = \ln \big(\lim_{x\to 0+0} (1+x)^{\frac{1}{x}}\big)^{\frac{1}{2}}$$

$$=\ln e^{\frac{1}{2}}= \frac{1}{2} \ln e = \frac{1}{2}.$$

Teorem 4.8   Neka je funkcija $f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,b]$ , $a<b$ . Tada vrijedi:

i)

ako restrikcija $f\mid_{[a,b]}$ nije konstanta, tada je slika tog intervala, $f([a,b])=[c,d]\subseteq\mathbb{R}$ , također zatvoreni interval;

ii)

restrikcija $f\mid_{[a,b]}$ poprima na intervalu $[a,b]$ svoj minimum i maksimum, kao i svaku vrijednost između njih.

Situacija iz teorema prikazana je na slici 4.14. Zatvorenost intervala je bitna, jer je funkcija na slici neprekidna i na intervalu $(e,a]$ , ali teorem ne vrijedi.

Slika 4.14: Neprekidna funkcija

Napomena 4.6   Druga tvrdnja teorema 4.8 ima važan korolar: ako je $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits f(a) \neq \mathop{\mathrm{sign}}\nolimits f(b)$ , tada postoji točka $x\in(a,b)$ takva da je $f(x)=0$ . Ovu činjenicu koriste numeričke metode za nalaženje nul-točaka funkcije, kao, na primjer, metoda bisekcije.

Neprekidnost     Neprekidnost     Vrste prekida