Vrste prekida

Razlikujemo tri vrste prekida funkcije: uklonjivi prekid, prekid prve vrste i prekid druge vrste.

Definicija 4.7 Neka je funkcija

definirana u nekoj okolini $(x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )$ , osim možda u samoj točki

. Funkcija

ima uklonjivi prekid u točki

ako je

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-0}f(x)=\lim_{x\to x_0+0}f(x)=a\in\mathbb{R},$

pri čemu

ili nije definirana u točki

ili je $f(x_0)\neq a$ . Prekid se ukloni tako što se definira

Funkcija ima prekid prve vrste u točki ako su limesi slijeva i zdesna u točki konačni i različiti.

Funkcija ima prekid druge vrste u točki ako je barem jedan od limesa slijeva ili zdesna beskonačan ili ne postoji.

Na primjer, funkcija

ima uklonjivi prekid u točki

. Prekid se ukloni tako što definiramo

, u kojem slučaju dobijemo neprekidnu funkciju

. Funkcija $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x)$ (slika 4.10) ima u točki

prekid prve vrste. Naime, u toj točki postoje limesi slijeva i zdesna koji su konačni, ali različiti. Funkcije $x^{-1}$ (slika 4.12), $x^{-2}$ , $x^{-3}$ , ..., sve imaju prekid druge vrste u točki

, jer su limesi s obje strane beskonačni.

Primjer 4.10 Navodimo dva zanimljiva primjera prekida druge vrste.

a)

Funkcija

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}0, & x\leq 0\\ \sin \frac{1}{x}, & x>0 \end{cases}$

ima prekid druge vrste u točki

(vidi sliku 4.15). Naime, funkcija $\sin \frac {1}{x}$ sve brže titra kada $x\to 0+0$ pa limes zdesna ne postoji (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko nule funkcija poprimi sve vrijednosti između

b)

Funkcija $f:\mathbb{R}\to \{0,1\}$ definirana s

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\\ 0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}$

ima u svakoj točki prekid druge vrste. Naime, kako su po teoremu 1.9 ii) i iii) skupovi $\mathbb{R}$ i $\mathbb{Q}$ gusti jedan u drugom, funkcija nema limes ni u jednoj točki (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko bilo koje točke funkcija beskonačno puta poprimi vrijednost 0 i vrijednost