×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Vrste prekida     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote iracionalne funkcije

Asimptote racionalne funkcije

Odredite asimptote i skicirajte graf funkcije $f$ zadane s:

a)

$f(x)=\displaystyle \frac {x^2}{x^2-4}$ ,

b)

$f(x)=\displaystyle \frac {x^2+2x}{x-2}$ .

Rješenje. Asimptote određujemo prema formulama iz [M1, poglavlje 4.5].

a)

Područje definicije funkcije $f$ je $\mathbb{R}\backslash\{-2,2\}$ . Stoga se vertikalne asimptote mogu nalaziti samo u točkama $x_1=-2$ i $x_2=2$ . Limesi slijeva i zdesna u tim točkama su:

$$\lim_{x\to-2\pm0}f(x) =\lim_{x\to-2\pm0}\frac{x^2}{x-2}\cdot\frac{1}{x+2}= -1 \cdot \lim_{t\to0\pm0}\frac{1}{t}=\mp\infty,$$

$$\lim_{x\to2\pm0}f(x) =\lim_{x\to2\pm0}\frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{1}{x-2}= 1 \cdot \lim_{t\to0\pm0}\frac{1}{t}=\pm\infty.$$

Slijedi da su pravci $x=-2$ i $x=2$ vertikalne asimptote.

Ispitajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti. Vrijedi

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1-\frac{4}{x^2}}=1$$

pa je pravac $x=1$ horizontalna asimptota na lijevoj i desnoj strani. Stoga funkcija $f$ nema kosih asimptota. Graf funkcije prikazan je na slici 4.4.

Slika 4.4: Graf funkcije $f(x)=\displaystyle \frac {x^2}{x^2-4}$ .

b)

Područje definicije funkcije $f$ je $\mathbb{R}\backslash \{2\}$ . Zbog

$$\lim_{x\to2\pm0}f(x)=\lim_{x\to2\pm0}(x^2+2x)\cdot\frac{1}{x-2}=8\cdot\lim_{t\to0\pm0}\frac{1}{t}=\pm\infty$$

slijedi da je pravac $x=2$ vertiklna asimptota.

Nadalje,

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\pm\infty$$

povlači da zadana funkcija nema horizontalnu asimptotu ni na lijevoj ni na desnoj strani.

Potražimo kose asimptote. Ako s $k$ označimo koeficijent smjera kose asimptote, a s $l$ njen odsječak na $y$ -osi, vrijedi

$$k =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{x-2}=1,$$

$$l =\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x}{x-2}=4,$$

pa je pravac $y=x+4$ kosa asimptota na lijevoj i desnoj strani (vidi sliku 4.5).

Slika 4.5: Graf funkcije $f(x)=\displaystyle \frac {x^2+2x}{x-2}$ .

Vrste prekida     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote iracionalne funkcije