×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 L'Hospitalovo pravilo     DERIVACIJE I PRIMJENE     Lokalni ekstremi parametarski zadane

Lokalni ekstremi

Odredite lokalne ekstreme funkcije $f$ zadane s:

a)

$$f(x)=\frac{\ln x}{x}\, e^{-\ln^2x}$$ ,

b)

$$f(x)=x^{\frac{2}{3}}\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}}$$ .

Rješenje.

a)

Izračunajmo prvu derivaciju funkcije $f$ . Vrijedi

$$f'(x) =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}+ \frac{\ln x}{x}\cdot e^{-\ln^2x}\cdot \left(-2\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}$$

$$=\frac{1-\ln x}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}-2\,\frac{\ln^2x}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}$$

$$=\frac{1}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}\cdot \left(1-\ln x-2\ln^2x\right).$$

Prema [M1, teorem 5.12], nužan uvjet za postojanje ekstrema u točki $x_0$ je $f'(x_0)=0$ . Budući je za svako $x>0$

$$\frac{1}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}>0,$$

jednadžba $f'(x)=0$ se svodi na

$$1-\ln x-2\ln^2x=0.$$

Uvrštavanjem $t=\ln x$ dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$1-t-2t^2=0,$$

čija su rješenja $t_1=-1$ i $t_2=\frac{1}{2}$ . Stoga za rješenja polazne jednadžbe $x_1$ i $x_2$ vrijedi

$$\ln x_1=-1 \quad\textrm{ i }\quad \ln x_2=\frac{1}{2},$$

pa su

$$x_1=\frac{1}{e}\quad\textrm{ i }\quad x_2=\sqrt e.$$

Dovoljne uvjete za postojanje ekstrema u dobivenim stacionarnim točkama $x_1$ i $x_2$ funkcije $f$ provjerimo korištenjem [M1, teorem 5.14]. Područje definicije funkcije $f$ je $D(f)=\langle 0,+\infty\rangle$ . Odredimo za koje $x\in D(f)$ je $f'(x)>0$ , odnosno

$$1-\ln x-2\ln^2x>0.$$

Uvrštavanjem $t=\ln x$ dobivamo kvadratnu nejednadžbu

$$1-t-2t^2>0,$$

čije rješenje glasi $t\in\langle-1,\frac{1}{2}\rangle$ , odakle je $\ln x\in\langle-1,\frac{1}{2}\rangle$ , odnosno $x\in\langle \frac{1}{e},\sqrt{e}\rangle$ . Dakle, za $x\in\langle \frac{1}{e},\sqrt{e}\rangle$ je $f'(x)>0$ , pa za $x \in \langle 0, 1/e \rangle\cup\langle\sqrt{e}, \infty \rangle$ vrijedi $f'(x)<0$ . Budući je

$$f\left(\frac{1}{e}\right)=-1 \quad f\left(\sqrt e\right)=\frac{1}{2\sqrt[4]{e^3}},$$

zadana funkcija ima lokalni minimum u točki

$$T_1=\left(\frac{1}{e},-1\right),$$

a lokalni maksimum u točki

$$T_2=\left(\sqrt e,\frac{1}{2\sqrt[4]{e^3}}\right).$$

b)

Izračunajmo prvu derivaciju funkcije $f$ . Vrijedi

$$f'(x) =\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}}-x^{\fr... ...3}}\left[\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}}-x\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\right]$$

$$=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(... ...\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^{\frac{1}{3}}} =\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}.$$

Provjerimo nužan uvjet postojanja ekstrema korištenjem [M1, teorem 5.12]. Iz $f'(x)=0$ slijedi $1-2x=0$ pa je stacionarna točka zadane funkcije $x_1=\frac{1}{2}$ . Dovoljne uvjete provjerimo pomoću prve derivacije. Odredimo za koje $x\in \mathbb{R}$ je $f'(x)>0$ , što se svodi na

$$\frac{1-2x}{x(1-x)}>0.$$

Rješenja ove nejednadžbe su svi $x\in\langle0,\frac{1}{2}\rangle\cup\langle1,+\infty\rangle$ . Stoga je $f'(x)<0$ za sve $x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle\frac{1}{2},1\rangle$ . Prema [M1, teorem 5.13] je točka

$$T_1=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt[3]{16}}\right)$$

lokalni maksimum funkcije $f$ .

Nadalje, zadana funkcija nije derivabilna u točkama $x_2=0$ i $x_3=1$ pa su to kritične točke. Za točku $x_2=0$ vrijedi

$$\lim_{x \to 0-0}f'(x)=\lim_{x \to 0-0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=-\infty,$$

pa je za $x<0$ funkcija $f$ padajuća, dok je

$$\lim_{x \to 0+0}f'(x)=\lim_{x \to 0+0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=+\infty,$$

pa je za $x>0$ funkcija $f$ rastuća.

Za $x_3=1$ je

$$\lim_{x \to 1-0}f'(x)=\lim_{x \to 1-0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=-\infty,$$

pa je za $x<1$ funkcija $f$ padajuća, dok je

$$\lim_{x \to 1+0}f'(x)=\lim_{x \to 1+0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=+\infty,$$

pa je za $x>1$ funkcija $f$ rastuća. Slijedi da funkcija $f$ ima lokalne minimume (šiljke) u točkama $T_2(0,0)$ i $T_3(1,0)$ .

L'Hospitalovo pravilo     DERIVACIJE I PRIMJENE     Lokalni ekstremi parametarski zadane