Lokalni ekstremi parametarski zadane funkcije

Odredite lokalne ekstreme funkcije zadane parametarski s

$\displaystyle x(t)$	$\displaystyle =t+\sin t,$
$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle =1-\cos t.$

Rješenje. Pravilo za deriviranje parametarski zadane funkcije iz [M1, poglavlje 5.4] daje

$\displaystyle f'(x)=\frac{\sin t}{1+\cos t}.$

Jednadžba

se svodi na jednadžbu

$\displaystyle \sin t=0,$

čije rješenje je

$\displaystyle t=k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.$

Za točke iz područje definicije funkcije

je $1+\cos t\neq 0$ , odnosno

$\displaystyle t\neq \left(2k+1\right)\pi,$

pa su stacionarne točke

$\displaystyle t=2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.$

Ispitajmo dovoljne uvjete postojanja ekstrema prema

[M1, teorem 5.14] za dobivene stacionarne točke. Vrijedi

$\displaystyle f^{\prime\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+\cos t\right)^2},$

pa je

$\displaystyle f''(2k\pi)=\frac{1}{4}>0.$

Stoga zadana funkcija ima lokalne minimume u točkama

$\displaystyle T_k=\left(2k\pi,0\right), \quad k\in \mathbb{Z}.$

Nadalje, kritične točke su

$\displaystyle x=(2k+1)\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.$

Ispitajmo dovoljne uvjete postojanja ekstrema. Vrijedi

$\displaystyle \lim_{x \to (2k+1)\pi\pm 0}f'(x)= \lim_{t \to (2k+1)\pi\pm 0}\fra... ... = \lim_{t \to (2k+1)\pi\pm 0}- \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits t = \mp \infty.$

Dakle, s lijeve strane točke $x=(2k+1)\pi$ funkcija

je rastuća, dok je s desne strane te točke funkcija

padajuća. Stoga funkcija

ima lokalne maksimume u točkama

$\displaystyle T_k=\left((2k+1)\pi,2\right), \quad k\in \mathbb{Z}.$

Lokalni ekstremi DERIVACIJE I PRIMJENE Lokalni ekstremi i intervali