×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Geometrijski ekstrem II     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem IV

Geometrijski ekstrem III

Odredite stranice pravokutnika maksimalne površine upisanog u prvi kvadrant elipse

$$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{2}=1$$

(vidi sliku 5.3). Ispitajte dovoljne uvjete.

Slika 5.3: Pravokutnik upisan u prvi kvadrant elipse

Rješenje. Površina pravokutnika sa stranicama $a$ i $b$ iznosi

$$P=ab.$$

Budući je pravokutnik upisan u prvi kvadrant elipse, točka $T(a,b)$ zadovoljava njenu jednadžbu i vrijedi $b>0$ . Stoga je

$$\frac{b^2}{2} =1-\frac{a^2}{18},$$

$$b^2 =\frac{1}{9}\,(18-a^2),$$

$$b =\frac{1}{3}\,\sqrt{18-a^2}.$$

pa je površina

$$P=\frac{1}{3}\,a\sqrt{18-a^2}$$

i možemo je smatrati funkcijom varijable $a$ . Izračunajmo prvu derivaciju. Vrijedi

$$P'(a)=\frac{1}{3}\left[\sqrt{18-a^2}+a\cdot\frac{1}{2\sqrt{18-a^2}}\cdot(-2a)\right] =\frac{2}{3}\cdot\frac{9-a^2}{\sqrt{18-a^2}}.$$

Jednažba $P'(a)=0$ se svodi na $9-a^2=0$ . Zbog $a>0$ je jedino rješenje $a=3$ , a uvrštavanjem u jednadžbu elipse dobivamo $b=1$ .

Ispitajmo sada dovoljne uvjete. Izračunajmo drugu derivaciju. Vrijedi

$$P''(a)=\frac{2}{3}\cdot\frac{-2a\cdot\sqrt{18-a^2}-(9-a^2)\cdot\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{18-a^2}}\cdot(-2a)}{(\sqrt{18-a^2})^2}.$$

Za $a=3$ vrijedi $9-a^2=0$ , pa je

$$P''(3)=\frac{2}{3}\cdot\frac{-2\cdot3\cdot\sqrt{18-3^2}-0}{(\sqrt{18-3^2})^2} =-\frac{4}{3}<0.$$

Prema [M1, teorem 5.14], slijedi da je površina $P(3)$ maksimalna.

Geometrijski ekstrem II     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem IV