☰ matematika1

Geometrijski ekstrem IV

Odredite točku takvu da tangenta na krivulju $y=e^{-x}$ u točki s koordinatnim osima zatvara trokut maksimalne površine (vidi sliku 5.4).

**Slika 5.4:** Trokut omeđen tangentom i koordinatnim osima
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=derivacije/trokut.eps, width=6.5cm}\end{center}\end{figure}$

Rješenje. Označimo apcisu točke s . Tada jednadžba tangente na krivulju $y=e^{-x}$ u točki glasi

$\displaystyle y-y(a)=y'(a)(x-a),$

odnosno

$\displaystyle y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a).$

(5.4)

Neka tangenta

siječe

-os u točki

, a

-os u točki

. Uvrštavanjem redom

u (5.4) dobivamo

$\displaystyle T_1(a+1,0),\quad T_2(0,(a+1)e^{-a}).$

Stoga površina trokuta omeđenog tangentom

i koordinatnim osima iznosi

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\,(a+1)^2e^{-a},$

i možemo je smatrati funkcijom varijable

. Vrijedi

$\displaystyle P'(a)$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\,\left[2(a+1)\, e^{-a}+(a+1)^2\,(-e^{-a})\right]$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\,(a+1)e^{-a}[2-(a+1)]=\frac{1}{2}\,(a+1)(-a+1)e^{-a}$

pa jednadžba

ima dva rješenja,

$\displaystyle a_1=-1 \quad\textrm{ i }\quad a_2=1.$

Sada trebamo provjeriti dovoljne uvjete iz

[M1, teorem 5.14]. Iz

$\displaystyle P''(a)=\frac{1}{2}\,[(1-a^2)\,e^{-a}]' =\frac{1}{2}\,[-2a\, e^{-a}+(1-a^2)\,(-e^{-a})] =\frac{1}{2}\,(a^2-2a-1)e^{-a}$

slijedi

$\displaystyle P''(-1)$	$\displaystyle =e>0,$
$\displaystyle P''(1)$	$\displaystyle =-\frac{1}{e}<0.$

Dakle, funkcija

ima minimum u

, a maksimum u

. Tražena točka je $T(1,\frac{1}{e})$ .