×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Geometrijski ekstrem III     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije I

Geometrijski ekstrem IV

Odredite točku $T$ takvu da tangenta na krivulju $y=e^{-x}$ u točki $T$ s koordinatnim osima zatvara trokut maksimalne površine (vidi sliku 5.4).

Slika 5.4: Trokut omeđen tangentom i koordinatnim osima

Rješenje. Označimo apcisu točke $T$ s $a$ . Tada jednadžba tangente $t$ na krivulju $y=e^{-x}$ u točki $T$ glasi

$$y-y(a)=y'(a)(x-a),$$

odnosno

$$y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a).$$ (5.4)

Neka tangenta $t$ siječe $x$ -os u točki $T_1$ , a $y$ -os u točki $T_2$ . Uvrštavanjem redom $y=0$ i $x=0$ u (5.4) dobivamo

$$T_1(a+1,0),\quad T_2(0,(a+1)e^{-a}).$$

Stoga površina trokuta omeđenog tangentom $t$ i koordinatnim osima iznosi

$$P=\frac{1}{2}\,(a+1)^2e^{-a},$$

i možemo je smatrati funkcijom varijable $a$ . Vrijedi

$$P'(a) =\frac{1}{2}\,\left[2(a+1)\, e^{-a}+(a+1)^2\,(-e^{-a})\right]$$

$$=\frac{1}{2}\,(a+1)e^{-a}[2-(a+1)]=\frac{1}{2}\,(a+1)(-a+1)e^{-a}$$

pa jednadžba $P'(a)=0$ ima dva rješenja,

$$a_1=-1 \quad\textrm{ i }\quad a_2=1.$$

Sada trebamo provjeriti dovoljne uvjete iz [M1, teorem 5.14]. Iz

$$P''(a)=\frac{1}{2}\,[(1-a^2)\,e^{-a}]' =\frac{1}{2}\,[-2a\, e^{-a}+(1-a^2)\,(-e^{-a})] =\frac{1}{2}\,(a^2-2a-1)e^{-a}$$

slijedi

$$P''(-1) =e>0,$$

$$P''(1) =-\frac{1}{e}<0.$$

Dakle, funkcija $P$ ima minimum u $a=-1$ , a maksimum u $a=1$ . Tražena točka je $T(1,\frac{1}{e})$ .

Geometrijski ekstrem III     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije I