×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Tok funkcije II     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije IV

Tok funkcije III

Odredite tok i skicirajte graf funkcije $f$ zadane s

$$f(x)=\frac{\ln 2x}{\sqrt x}.$$

Rješenje. Koristeći upute dane u [M1, poglavlje 5.9], ispitujemo sljedeće:

1. Područje definicije

   Domena funkcije $f$ je $\mathcal{D}(f)=\langle 0, \infty\rangle$ .

2. Parnost

   Područje definicije nije simetrično pa nema smisla ispitivati parnost.

3. Periodičnost

   Funkcija $f$ je elementarna i ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija pa nije periodična.

4. Nul-točke

   Rješavanjem jednadžbe $f(x)=0$ dobivamo da je $x_1=\frac{1}{2}$ nul-točka funkcije $f$ .

5. Asimptote

   a)

   Vertikalne asimptote

   Domena funkcije ima otvoren lijevi rub i vrijedi

   $$\lim_{x\to 0+0}f(x)=\lim_{x\to 0+0}\ln 2x\cdot\frac{1}{\sqrt x}=(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty.$$

   
   

   Stoga je pravac $x=0$ desna vertikalna asimptota funkcije $f$ .

   b)

   Horizontalne asimptote

   Postojanje horizontalnih asimptota ima smisla provjeravati samo na desnoj strani. Primjenom L'Hospitalovog pravila dobivamo

   $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln 2x}{\sqrt x}... ...1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{\sqrt x}=0.$$

   
   

   Dakle, pravac $y=0$ je desna horizontalna asimptota.

   c)

   Kose asimptote

   Postojanje kose asimptote također ima smisla provjeravati samo na desnoj strani. Funkcija nema kosu asimptotu na desnoj strani, jer ima horizontalnu.

6. Ekstremi

   Prva derivacija je jednaka

   $$f^\prime(x)=\frac{\displaystyle\frac{1}{x}\cdot \sqrt x-\ln 2x\cdot\frac{1}{2\sqrt x}}{x}=\frac{2-\ln 2x}{2x\sqrt x}.$$

   
   
   Vrijedi
   $$f^\prime(x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2-\ln 2x =0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x =e^2 \quad\Leftrightarrow\quad x =\frac{e^2}{2}.$$
   Dakle, $x_2=\frac{e^2}{2}$ je stacionarna točka funkcije $f$ . Druga derivacija funkcije $f$ glasi

   $$f^{\prime\prime}(x)=\frac{\displaystyle-\frac{1}{x} \cdot 2x\sqrt... ...qrt x}{4x^3}=\frac{3\ln 2x-8}{4x^{\frac{5}{2}}}=\frac{3\ln 2x-8}{4x^2\sqrt{x}}.$$

   
   
   Budući je $f''(\frac{e^2}{2})<0$ , funkcija $f$ ima lokalni maksimum u točki $x_2=\frac{e^2}{2}$ i vrijedi $f(x_2)=\frac{2\sqrt 2}{e}$ .

7. Intervali monotonosti

   Zbog toga što područje definicije funkcije $f$ sadrži samo pozitivne realne brojeve

   $$f'(x)>0 \quad\Leftrightarrow\quad 2-\ln 2x>0 \quad\Leftrightarrow\quad x<\frac{e^2}{2}.$$
   Stoga je funkcija $f$ strogo rastuća na intervalu $\langle0,\frac{e^2}{2}\rangle$ , a strogo padajuća na $\langle \frac{e^2}{2},+\infty\rangle$ .

8. Intervali zakrivljenosti

   Vrijedi

   $$f''(x)>0 \quad\Leftrightarrow\quad 3\ln 2x-8>0 \quad\Leftrightarrow\quad x>\frac{e^{\frac{8}{3}}}{{2}}$$
   pa je funkcija $f$ konkavna na intervalu $\langle0,\frac{1}{2}\,e^{\frac{8}{3}}\rangle$ , a konveksna na intervalu $\langle\frac{1}{2}\,e^{\frac{8}{3}},+\infty\rangle$ .

9. Točke infleksije

   Rješenje jednadžbe $f^{\prime\prime}(x)=0$ je $x_3=\frac{e^{\frac{8}{3}}}{{2}}$ i $f''$ mijenja predznak u toj točki. Stoga iz [M1, teorem 5.17] slijedi da funkcija $f$ ima točku infleksije u $x_3=\frac{e^{\frac{8}{3}}}{{2}}$ .

10. Graf funkcije

    Graf funkcije je prikazan na slici 5.7.

Slika 5.7: Graf funkcije $$f(x)=\frac {\ln 2x}{\sqrt x}$$ .

Tok funkcije II     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije IV