×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Zakrivljenost     DERIVACIJE I PRIMJENE     Parametarski zadana funkcija

Ispitivanje toka funkcije

Ispitivanje toka funkcije je složen postupak u kojem se primjenjuje sve što je do sada rečeno o funkcijama i derivacijama. Ispitivanje funkcije $y=f(x)$ sastoji se od sljedećih koraka:

1.

Područje definicije - potrebno je poznavati elementarne funkcije iz poglavlja 4.6 i postupke za rješavanje jednadžbi ili nejednadžbi.

2.

Parnost - provjerava se pomoću definicije 4.2.

3.

Periodičnost - provjerava se pomoću definicije 4.4. Pri tome je važno uočiti da elementarna funkcija (vidi poglavlje 4.6.7) ne može biti periodična ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

4.

Nul-točke - postupak se sastoji od rješavanja jednadžbe $f(x)=0$ .

5.

Asimptote (vertikalne, horizontalne i kose) - postupak koji je opisan u poglavlju 4.5 sastoji se od nalaženje limesa te primjene L'Hospitalovog pravila iz poglavlja 5.5.3 ukoliko je to potrebno. Pri tome je nužno voditi računa o sljedećem:

a)

asimptote je najbolje tražiti u opisanom redoslijedu,

b)

kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada $x\to -\infty$ i kada $x\to +\infty$ uvijek treba računati posebno,

c)

treba biti oprezan u slučaju parnih korijena kada $x\to -\infty$ , na primjer

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}= -\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1.$$

6.

Ekstremi - potrebno je provjeriti nužne i dovoljne uvjeta ekstrema. Provjera nužnih uvjeta vrši se po teoremu 5.12. Potrebno je naći stacionarne i kritične točke po definiciji 5.5, odnosno potrebno je odrediti područje definicije prve derivacije $f'$ i riješiti jednadžbu $f'(x)=0$ . Provjera dovoljnih uvjeta ekstrema može se vršiti na tri načina:

a)

pomoću promjene predznaka prve derivacije (teorem 5.13),

b)

pomoću druge derivacije (teorem 5.14) ili

c)

pomoću viših derivacija (teorem 5.18).

7.

Intervali monotonosti - nakon što smo u prethodnoj točki izračunali prvu derivaciju $f'$ , intervale monotonosti određujemo promatrajući predznake od $f'$ po teoremu 5.11.

8.

Intervali zakrivljenosti - prvo je potrebno izračunati drugu derivaciju $f''$ . Potom intervale konveksnosti i konkavnosti možemo odrediti pomoću teorema 5.15 promatrajući predznake od $f''$ . Također možemo pogledati gdje prva derivacija $f'$ raste, a gdje pada i primijeniti napomenu 5.2 d).

9.

Točke infleksije - potrebno je naći točke u kojima druga derivacija $f''$ mijenja predznak, odnosno točke koje ispunjavaju dovoljne uvjete infleksije po teoremu 5.17. Za provjeru dovoljnih uvjeta infleksije možemo koristiti i više derivacije po teoremu 5.18. U tom slučaju potrebno je prvo naći točke u kojima je druga derivacija $f''$ jednaka nuli, odnosno točke koje zadovoljavaju nužan uvjet infleksije po teoremu 5.16.

10.

Graf funkcije - potrebno je sve do sada dobivene informacije o funkciji spojiti u suvislu sliku. Prilikom crtanja grafa moguće je otkriti nelogičnosti, odnosno pogreške u prethodnom računu te ih ispraviti.

Kao primjer, ispitat ćemo tok i nacrtati graf funkcije

$$y=f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}.$$

1.

Područje definicije
Domena funkcije je $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ .

2.

Parnost
Vrijedi $f(-1)=\sqrt[3]{2+1}=\sqrt[3]{3}$ , dok je $f(1)= \sqrt[3]{2-1}=\sqrt[3]{1}=1$ . Zaključujemo da funkcija nije ni parna ni neparna jer je $f(-x)\neq f(x)$ i $f(-x)\neq -f(x)$ .

3.

Periodičnost
Funkcija nije periodična, jer je elementarna, a ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

4.

Nul-točke
Riješimo jednadžbu $y=0$ . Vrijedi

$$\sqrt[3]{2x^2-x^3}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x^2-x^3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 (2-x)=0$$

pa su nul-točke jednake $x_1=0$ i $x_2=2$ .

5.

Asimptote

a)

Vertikalne asimptote
Funkcija nema vertikalnih asimptota jer je $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ .

b)

Horizontalne asimptote
U lijevoj strani vrijedi

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) =\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3} =\lim_{x\to -\infty} \sqrt[3]{x^3\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)}$$

$$=\lim_{x\to -\infty} x \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1} =(-\infty)\cdot (-1)=+\infty$$

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. U desnoj strani vrijedi

$$\lim_{x\to +\infty} f(x) =\lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{2x^2-x^3} =\lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{x^3\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)}$$

$$=\lim_{x\to +\infty} x \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1} =(+\infty)\cdot (-1)=-\infty$$

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani. Dakle, funkcija nema horizontalnih asimptota, no dobili smo korisne informacije.

c)

Kose asimptote
U lijevoj strani vrijedi

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{2... ...x^3}\cdot \frac{1}{x} =\lim_{x\to -\infty} \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}=-1\equiv k.$$

Dalje,

$$\lim_{x\to -\infty} f(x)-kx =\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x=(+\infty-\infty)$$

$$=\lim_{x\to -\infty} x\bigg(\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1\bigg)$$

$$=(-\infty\cdot 0)$$

$$=\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1}{\frac{1}{x}}=\big(\frac{0}{0}\big)$$

$$=\lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{1}{3}\big(\frac{2}{x}-1\big)^{-2/3} \big(-\frac{2}{x^2}\big)}{-\frac{1}{x^2}}$$

$$=\lim_{x\to -\infty} \frac{2}{3}\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)^{-2/3} =\frac{2}{3}\equiv l.$$

Dakle, pravac $y=-x+\frac{2}{3}$ je kosa asimptota u lijevoj strani. U desnoj strani vrijedi

$$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{2... ...x^3}\cdot \frac{1}{x} =\lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}=-1\equiv k.$$

Dalje,

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)-kx =\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x=(-\infty+\infty)$$

$$=\lim_{x\to +\infty} x\bigg(\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1\bigg) =(+\infty\cdot 0)$$

$$=\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}+1}{\frac{1}{x}}=\big(\frac{0}{0}\big)$$

$$=\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{3}\big(\frac{2}{x}-1\big)^{-2/3} \big(-\frac{2}{x^2}\big)}{-\frac{1}{x^2}}$$

$$=\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{3}\bigg(\frac{2}{x}-1\bigg)^{-2/3} =\frac{2}{3}\equiv l.$$

Dakle, pravac $y=-x+\frac{2}{3}$ je kosa asimptota i u desnoj strani.

6.

Ekstremi
Izračunajmo prvu derivaciju:

$$f'(x)=\frac{1}{3} (2x^2-x^3)^{-2/3} (4x-3x^2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{x(4-3x)}{\sqrt[3]{x^4(2-x)^2}}.$$

Područje definicije derivacije jednako je $\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus \{0,2\}$ . Dakle, dvije kritične točke funkcije su $x_1=0$ i $x_2=2$ . Za $x\in \mathcal{D}_{f'}$ možemo skratiti $x$ u brojniku i nazivniku, odnosno vrijedi

$$f'(x)= \frac{1}{3} \cdot \frac{4-3x}{\sqrt[3]{x(2-x)^2}}.$$

Vidimo da je stacionarna točka (treća kritična točka) jednaka $x_3=4/3$ . Dakle, imamo tri točke koje zadovoljavaju nužan uvjet ekstrema, odnosno u kojima funkcija može imati lokalne ekstreme. Dovoljne uvjete ekstrema provjerit ćemo pomoću prve derivacije, odnosno provjerit ćemo da li u kritičnim točkama prva derivacija mijenja predznak. Imamo tri slučaja:

i)

Za $x<0$ je brojnik veći od nule, a nazivnik manji of nule pa je $f'(x)<0$ . Drugim riječima, funkcija $f$ je strogo padajuća na intervalu $(-\infty,0)$ .

ii)

Za $x\in (0,4/3)$ su i brojnik i nazivnik veći od nule, pa je $f'(x)>0$ . Drugim riječima, funkcija $f$ je strogo rastuća na intervalu $(0,4/3)$ .

iii)

Za $x>4/3$ je brojnik manji od nule, a nazivnik veći od nule pa je $f'(x)<0$ . Drugim riječima, funkcija $f$ je strogo padajuća na intervalu $(4/3,+\infty)$ .

Iz prethodnog razmatranja možemo zaključiti sljedeće:

a)

Iz i) i ii) slijedi da funkcija ima lokalni minimum u kritičnoj točki $x_1=0$ . Vrijednost lokalnog minimuma je $f(0)=0$ .

b)

Iz ii) i iii) slijedi da funkcija ima lokalni maksimum u kritičnoj točki $x_3=4/3$ . Vrijednost lokalnog maksimuma je $f(4/3)=2\sqrt[3]{4}/3$ .

c)

Iz iii) također slijedi da funkcija nema lokalni ekstrem u kritičnoj točki $x_2=2$ , jer prva derivacija ne mijenja predznak u toj točki, odnosno funkcija je strogo padajuća s obje strane te točke.

Funkcija nema globalni maksimum ni globalni minimum jer je kodomena jednaka $\mathbb{R}$ .

7.

Intervali monotonosti
Monotonost smo već ispitali u prethodnoj točki: funkcija je strogo padajuća na intervalima $(-\infty,0)$ i $(4/3,+\infty)$ , a strogo rastuća na intervalu $(0,4/3)$ .

8.

Intervali zakrivljenosti
Izračunajmo drugu derivaciju:

$$f''(x) =\frac{1}{3}\cdot \frac{-3\sqrt[3]{x(2-x)^2} -\frac{4-3x}{3 [x(2-x)^2]^{2/3}} [(2-x)^2+x\cdot 2(2-x)(-1)] }{\sqrt[3]{x^2(2-x)^4}}$$

$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{-3(x(2-x)^2) - \frac{1}{3}(4-3x)(2-x)(2-3x)} {\sqrt[3]{x^4(2-x)^8}}$$

$$=\frac{-8}{9 \sqrt[3]{x^4(2-x)^5}}.$$

Vidimo da je predznak od $f''$ obrnut od predznaka izraza $2-x$ . Dakle, za $x<2$ je $f''(x)<0$ pa je funkcija $f$ konkavna po teoremu 5.15. Za $x>2$ je $f''(x)>0$ pa je funkcija $f$ konveksna po teoremu 5.15.

9.

Točke infleksije
Iz razmatranja zakrivljenosti u prethodnoj točki, po teoremu 5.17 zaključujemo da je $x=2$ jedina točka infleksije funkcije $f$ .

10.

Graf funkcije
Kombinirajući sve prethodne rezultate dobijemo graf zadane funkcije i njene kose asimptote, koji je prikazan na slici 5.14. Kako je slika nacrtana pomoću programa Gnuplot, funkciju smo morali nacrtati iz dva dijela, kao što je objašnjeno u napomeni 4.8.

Slika 5.14: Graf iracionalne funkcije

Zadatak 5.6   Ispitajte tok i skicirajte grafove sljedećih funkcija:

$$f(x) =\frac{1-\ln x}{x^2},$$

$$f(x) =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits e^x -\frac{1}{2} \ln \bigg(\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\bigg),$$

$$f(x) =\sqrt{x^2-1}\cdot \ln\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},$$

$$f(x) = x^{2/3} (1+x)^3,$$

$$f(x) = (x-1) e^{\frac{x+1}{x-1}},$$

$$f(x) = e^{\frac{1}{x^2-3x-4}},$$

$$f(x) = x e^{-\frac{x}{4} +\frac{3}{4x}}.$$

Rješenja provjerite tako što ćete funkcije nacrtati pomoću programa NetPlot.

Poglavlja

• Parametarski zadana funkcija

Zakrivljenost     DERIVACIJE I PRIMJENE     Parametarski zadana funkcija