×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Jednakost kompleksnih brojeva     OSNOVE MATEMATIKE     Potenciranje kompleksnih brojeva

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Odredite trigonometrijski oblik sljedećih kompleksnih brojeva:

a)

$z=1+i$ ,

b)

$$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i$$ .

Rješenje.

a)

Za kompleksni broj $z=1+i$ vrijedi $\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z=1$ i $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=1$ . Prema formulama iz [M1, poglavlje 1.8.1] modul od $z$ je

$$\vert z\vert=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},$$

a argument od $z$ je

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi =\frac{1}{1}=1.$$

Kako se $z$ nalazi u prvom kvadrantu, slijedi da je $\varphi =\frac{\pi}{4}$ . Stoga je

$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

b)

Iz $\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z=\frac{1}{2}$ i $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , prema formulama iz [M1, poglavlje 1.8.1] slijedi

$$\vert z\vert=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1.$$

Nadalje, kako se $z$ se nalazi u četvrtom kvadrantu, vrijedi

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{\displaystyle-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}}=-\sqrt{3},$$

$$\varphi =2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.$$

Dakle,

$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i=1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$$