Cauchyjev kriterij konvergencije

Ispitajte konvergenciju reda:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n\, n^3}{e^n}$ ,

$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{n-2}{n+2} \right)^{n(n+1)}$ .

Rješenje.

Zadani red ima pozitivne članove pa možemo primijeniti Cauchyjev kriterij konvergencije. Prema

[M1, poglavlje 6.1.6] je $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$ , pa vrijedi

$\displaystyle q=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n }=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\f... ...rt[n]{n^3}= \lim_{n\to \infty}\frac{3}{e}\cdot{(\sqrt[n]{n})}^3=\frac{3}{e}>1.$

Stoga, prema (iv) iz

[M1, teorem 6.10], zadani red divergira.

Budući da zadani red ima pozitivne članove i vrijedi

$\displaystyle q$	$\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n }=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\le... ...}{n+2} \right)^{n(n+1)}}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{n-2}{n+2} \right)^{n+1}$
	$\displaystyle =\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n+2-4}{n+2}\right)^{n+1}= \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4}{n+2} \right)^{n+1}$
	$\displaystyle =\lim_{n\to \infty}{\left[ \left(1-\frac{1}{\frac{n+2}{4}}\right)... ...4}} \right]^{{\displaystyle\lim_{n\to \infty}}\left[-\frac{4(n+1)}{n+2}\right]}$
	$\displaystyle = e^{-4}<1,$

prema Cauchyjevom kriteriju konvergencije (iv) iz

[M1, teorem 6.10], slijedi da zadani red konvergira.