Raabeov kriterij konvergencije

Ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n!}}{\left(2+\sqrt 1\right)\left(2+\sqrt 2\right) \cdots \left(2+\sqrt {n} \right)}$ .

Rješenje.

a)

Budući je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\... ...2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2}}=\lim_{n\to \infty}\frac{(2n+3)(n+1)^2}{(2n+1)(n+3)^2}=1,$

prema D'Alembertovom kriteriju (iii) iz

[M1, teorem 6.10], nema odluke. Ispitajmo stoga konvergenciju Raabeovim kriterijem (v) iz

[M1, teorem 6.10]. Vrijedi

$\displaystyle q$	$\displaystyle =\lim_{n\to \infty} n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)= \lim_{n\to \infty} n\left[1-\frac{(2n+3)(n+1)^2}{(2n+1)(n+3)^2}\right]$
	$\displaystyle = \lim_{n\to \infty}\frac{n(6n^2+16n+6)}{(2n+1)(n+3)^2}=3,$

pa zadani red konvergira.

b)

Budući je

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \frac{\displaystyle\frac{\sqrt{(n+1)!}}{\l... ...rt 2\right) \cdots \left(2+\sqrt {n} \right)}}=\frac{\sqrt{n+1}}{2+\sqrt{n+1}},$

slijedi

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}}{2+\sqrt{n+1}}=1,$

pa prema D'Alembertovom kriteriju nema odluke. Primijenimo stoga Raabeov kriterij (v) iz

[M1, teorem 6.10]. Zbog

$\displaystyle q=\lim_{n\to \infty} n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)= \lim_... ...n+1}}{2+\sqrt{n+1}}\right)= \lim_{n\to \infty} \frac{2n}{2+\sqrt{n+1}}=+\infty,$

slijedi da zadani red konvergira.