Apsolutna konvergencija

Ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle 1+\frac{2}{3}-\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\frac{32}{243}+\cdots$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{n}}{\sqrt{n^3}}$ .

Rješenje.

a)

Red apsolutnih vrijednosti zadanog reda je

$\displaystyle 1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}+\frac{32}{243}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n,$

što je geometrijski red s $q=\frac{2}{3}$ koji, prema

[M1, primjer 6.8], konvergira jer je $\vert q\vert<1$ . Prema

[M1, definicija 6.11], zadani red je apsolutno konvergentan. Sada

[M1, teorem 6.11] povlači da je zadani red konvergentan.

b)

Opći član zadanog reda

$\displaystyle a_n=\frac{\cos{n}}{\sqrt{n^3}}$

nije pozitivan za svaki $n\in \mathbb{N}$ pa promatramo

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \vert a_n\vert=\sum_{n=1}^\infty \frac{\vert\cos{n}\vert}{\sqrt{n^3}}.$

Za svaki $n\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \frac{\vert\cos{n}\vert}{\sqrt{n^3}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^3}}.$

Prema

[M1, napomena 6.3], red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^3}}$

je konvergentan. Dakle, red s pozitivnim članovima $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \vert a_n\vert$ ima konvergentnu majorantu pa je, prema (i) iz

[M1, teorem 6.10], konvergentan. Prema

[M1, definicija 6.11], zadani red je apsolutno konvergentan pa, prema

[M1, teorem 6.11], slijedi da je zadani red konvergentan.