☰ matematika1

Sustav nejednadžbi u skupu OSNOVE MATEMATIKE Rješenja

Zadaci za vježbu

1.

Riješite sljedeće nejednadžbe:

a): $\displaystyle \left\vert \frac{x^2+2x}{x^2-4x+3}\right\vert<1$ ,
b): $\vert 4x^2+x\vert\leq 3-x-4x^2$ ,
c): $\left\vert 2x+1\right\vert-\left\vert x-3\right\vert>x+5$ .

2.

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj

vrijedi

$\displaystyle 1^2-2^2+3^2-\cdots (-1)^{n-1}\cdot n^2=(-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}.$

3.

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj

vrijedi

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^k}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4\cdot 3^n}.$

4.

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj

vrijedi

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt n} \geq \sqrt n.$

5.

Odredite

ako je poznato da je treći član u razvoju binoma

$\displaystyle \left(x+x^{\log x}\right)^5$

jednak

6.

Odredite onaj član u razvoju binoma

$\displaystyle \left(\frac{1}{2} \sqrt {a^3} +\sqrt[3]{a^2}\right)^{12}$

koji se nalazi uz potenciju $a^{13}$ .

7.

Izračunajte

, $z_1\cdot z_2$ i $\displaystyle\frac{z_1}{z_2}$ ako je

a): , ,
b): , .

8.

Odredite realni i imaginarni dio kompleksnog broja

$\displaystyle z=\frac{i^{20}-i}{i+1}.$

9.

Odredite realan broj t takav da je $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \left( z_1+z_2\right) =0$ , ako je $z_1=1+2\textrm{t}\,i,\,\, z_2=3\textrm{t}-4i$ .

10.

Riješite jednadžbu $\displaystyle z\left(3+2i\right)=i^{10}$ .

11.

Odredite sve kompleksne brojeve

za koje vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits \left(\frac{z-i}{z+i}\right)=1\quad\textrm{ i }\quad\vert z-1+i\vert=1.$

12.

Koristeći trigonometrijski oblik kompleksnog broja izračunajte:

a): $\left(1+i\sqrt{3}\right)^7$ ,
b): $\left(3-i\sqrt{3}\right)^7$ .

13.

Koristeći trigonometrijski oblik kompleksnog broja izračunajte:

a): $\displaystyle \sqrt[4]{-i}$ ;
b): $\displaystyle \sqrt[3]{1+i\sqrt{3}}$ .

14.

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbe:

a): $(2+5i)\cdot z^3-2i+5=0$ ;
b): $\displaystyle z^4\sqrt{2}+\left(1-i\right)=0$ ,
c): $\displaystyle z^4\cdot\frac{2i+3}{1-i}=\frac{1+5i}{2}$ ,
d): $\displaystyle 8z^3+\frac{8}{\sqrt{2}}\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{313}=0$ ,
e): $\displaystyle (z+2i)^6=(1+i)^{12}$ .

15.

Odredite i skicirajte skup svih kompleksnih brojeva

za koje vrijedi:

a): $\left\vert z-i\right\vert<1 \textrm{ i } \left\vert z-1\right\vert \leq 1$ ,
b): $\vert z\vert+\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z\leq2$ ,
c): $\vert z-1\vert +$ Im $\left( 2i-z \right) \geq 1$ ,
d): $\displaystyle \left\vert\frac{z+2-i}{z+i}\right\vert\leq 1$ ,
e): $\displaystyle \vert z\sqrt{2}+1-i\vert \leq 1$ i $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \left( \frac{z}{1+i}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

16.

Odredite sve kompleksne brojeve

takve da je $\arg(z^3)=\pi$ i da su u kompleksnoj ravnini jednako udaljeni od brojeva

17.

Odredite sve kompleksne brojeve

za koje vrijedi

$\displaystyle \arg(z^4i^{25})=\frac{\pi}{2}\quad\textrm{ i }\quad\vert z\vert=1.$

18.

Odredite sve kompleksne brojeve

za koje vrijedi

$\displaystyle \arg\left[z^3\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right]=\frac{5\pi}{3} \quad\textrm{ i }\quad {\vert z\vert}^2+\vert z\vert-12=0.$

19.

Odredite skup svih kompleksnih brojeva

za koje vrijedi

$\displaystyle \left\vert z-i\right\vert+$ Re $\displaystyle (z+1)\leq 3 \quad\textrm{i}\quad \left\vert z-1\right\vert+$ Im $\displaystyle (2i-z)\geq 1.$

Sustav nejednadžbi u skupu OSNOVE MATEMATIKE Rješenja