×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Sustav jednadžbi u skupu     OSNOVE MATEMATIKE     Zadaci za vježbu

Sustav nejednadžbi u skupu kompleksnih brojeva

Odredite i skicirajte skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje vrijedi

$$\cos\left[\arg\left(-2iz^4\right)\right] \geq 0 \quad\textrm{ i }\quad \frac{\vert z+4\vert-6}{4-\vert z-2\vert}\leq 1.$$

Rješenje. Označimo $\arg z=\varphi$ . Tada prema formulama [M1, (1.3)] i [M1, (1.4)] vrijedi

$$\arg\left(-2iz^4\right) = \arg\left(-2i\right)+\arg\left(z^4\right)+2k\pi=\frac{3\pi}{2}+4\varphi +2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Nadalje, vrijedi

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+4\varphi +2k\pi\right)=\cos\left(\pi+\fr... ...{2}+4\varphi \right)=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+4\varphi \right)=\sin(4\varphi ).$$

Stoga je

$$\cos\left[\arg\left(-2iz^4\right)\right]=\sin(4\varphi )$$

pa iz prve nejednadžbe slijedi da za argument $\varphi$ mora vrijediti

$$\sin(4\varphi )\geq 0,$$ (1.12)

Slika 1.6: Rješenje nejednadžbe (1.12).

odnosno

$$0+2m\pi \leq 4\varphi \leq \pi+2m\pi, \quad m\in \mathbb{Z}.$$

Budući je $\varphi \in [0,2\pi\rangle$ , svi mogući intervali su određeni s

$$m = 0 \quad \Longrightarrow \quad 0\leq \varphi \leq \frac{\pi}{4},$$

$$m = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq\frac{3\pi}{4},$$

$$m = 2 \quad \Longrightarrow \quad \pi \leq \varphi \leq \frac{5\pi}{4},$$

$$m = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3\pi}{2} \leq \varphi \leq\frac{7\pi}{4}.$$

Rješenje prve nejednadžbe je unija ovih dijelova kompleksne ravnine (vidi sliku 1.6).

Iz druge nejednadžbe slijedi

$$\frac{\vert z+4\vert-6}{4-\vert z-2\vert}-1\leq0,$$

odnosno

$$\frac{\vert z+4\vert+\vert z-2\vert-10 }{4-\vert z-2\vert}\leq0.$$ (1.13)

Slika 1.7: Rješenje nejednadžbe (1.13).

Nejednakost (1.13) vrijedi u dva slučaja:

Slučaj 1.

$$\vert z+4\vert+\vert z-2\vert-10 \geq 0 \quad 4-\vert z-2\vert<0.$$ (1.14)

Rješenje prve nejednadžbe je skup

$$A = \left\{ z\in \mathbb{C}\colon \vert z+4\vert+\vert z-2\vert\geq 10\right\}.$$

Prema [M1, primjer 1.4 (c)], skup $A$ je dio kompleksne ravnine izvan elipse koja ima fokuse u točkama $z_1=-4$ i $z_2=2$ , veliku poluos $a=5$ i malu poluos $b=4$ , zajedno s rubom te elipse.

Rješenje druge nejednadžbe je skup

$$B=\left\{ z\in \mathbb{C} \colon \vert z-2\vert>4\right\}.$$

Prema [M1, primjer 1.4 (a)], skup $B$ je dio kompleksne ravnine izvan kružnice radijusa $4$ sa središtem u točki $z_0=2$ . Rješenje sustava nejednadžbi (1.14) je presjek skupova $A$ i $B$ .

Slučaj 2.

$$\vert z+4\vert+\vert z-2\vert-10\leq 0 \quad 4-\vert z-2\vert>0.$$ (1.15)

Analogno prvom slučaju, rješenje prve nejednadžbe je dio kompleksne ravnine unutar elipse s fokusima u točkama $z_1=-4$ , $z_2=2$ , velikom poluosi $a=5$ i malom poluosi $b=4$ , rješenje druge nejednadžbe je dio kompleksne ravnine unutar kružnice radijusa $4$ sa središtem u točki $z_0=2$ , a rješenje sustava nejednadžbi (1.15) je presjek tih skupova.

Konačno rješenje nejednadžbe (1.13) je unija rješenja u prvom i drugom slučaju (vidi sliku 1.7).

Konačno rješenje zadatka je presjek rješenja nejednadžbi (1.12) i (1.13) (vidi sliku 1.8).

Slika 1.8: Presjek skupova prikazanih na slikama 1.6 i 1.7.

Sustav jednadžbi u skupu     OSNOVE MATEMATIKE     Zadaci za vježbu