×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Komutativnost matrica     LINEARNA ALGEBRA     Sustav linearnih jednadžbi bez

Potenciranje matrica

Zadana je matrica

$$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Izračunajte $n$ -tu potenciju matrice $A$ .

Rješenje. Da bismo odredili $n$ -tu potenciju matrice $A$ , izračunajmo prvo nekoliko potencija nižeg reda. Iz oblika tih potencija ćemo prepoznati opći oblik za $A^n$ . Konačno, ispravnost dobivenog oblika treba provjeriti matematičkom indukcijom. Za $n=2,3,4$ imamo

$$A^2 = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix... ...nd{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$

$$A^3 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix... ...{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 & 1+2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$

$$A^4 = \begin{bmatrix}1 & 3 & 1+2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatr... ...matrix} = \begin{bmatrix}1 & 4 & 1+2+3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Iz oblika ovih potencija zaključujemo da je

$$A^n = \begin{bmatrix}1 & n & 1+2+\cdots+(n-1) \\ 0 & 1 & n \\ 0 &... ...\begin{bmatrix}1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (2.1)

gdje smo koristili formulu $1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ (vidi [M1, primjer 1.3]). Ispravnost dobivenog izraza za $A^n$ ćemo provjeriti matematičkom indukcijom P4 iz [M1, definicija 1.13]. Jednakost (2.1) očigledno vrijedi za $n=1$ pa je time ispunjena baza indukcije. Pretpostavimo sada da jednakost (2.1) vrijedi za $n=m$ . Tada je

$$A^{m+1} =A^m\cdot A = \begin{bmatrix}1 & m & \frac{m(m-1)}{2} \\ 0 & 1 & ... ...{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}1 & m+1 & m+\frac{m(m-1)}{2} \\ 0 & 1 & m+1 \\ 0... ...n{bmatrix}1 & m+1 & \frac{(m+1)m}{2} \\ 0 & 1 & m+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$

što pokazuje da jednakost (2.1) vrijedi za $n=m+1$ . Dakle, po principu matematičke indukcije jednakost vrijedi za svako $n\in \mathbb{N}$ .

Komutativnost matrica     LINEARNA ALGEBRA     Sustav linearnih jednadžbi bez