Prirodni brojevi

U ovom poglavlju definirat ćemo skup prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ , osnovne računske operacije na tom skupu i njihova svojstva te relaciju potpunog uređaja. Posebnu pažnju posvetit ćemo principu matematičke indukcije i njegovoj primjeni na dokazivanje binomnog poučka. Ponovit ćemo i neke načine zapisivanja elemenata skupa $\mathbb{N}$ .

Definicija 1.13 Skup prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ je skup koji zadovoljava četiri Peanova aksioma:

P1.

postoji funkcija sljedbenika $s:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ ;

P2.

je injekcija;

P3.

postoji barem jedan element $1\in \mathbb{N}$ koji nije ničiji sljedbenik, odnosno $s(n)\neq 1$ za svaki $n\in \mathbb{N}$ ;

P4.

ako je $M\subseteq \mathbb{N}$ i ako vrijedi

i): $1\in M$ ,
ii): $n\in M\Rightarrow s(n)\in M$ ,

tada je $M=\mathbb{N}$ .

Aksiom P4 zove se princip matematičke indukcije.

Teorem 1.2 Postoji točno jedan skup sa svojstvima iz definicije 1.13. Funkcije

i $\cdot$ jedine su funkcije s gornjim svojstvima.

Ovaj teorem zapravo kaže da se uvijek radi o istom skupu $\mathbb{N}$ bez obzira na to kako označavamo njegove elemente. Razni načini označavanja prirodnih brojeva dani su u poglavlju 1.4.1.

Teorem 1.3 Množenje i zbrajanje imaju sljedeća svojstva: za sve $m,n,p\in \mathbb{N}$ vrijedi

i)

asocijativnost, odnosno

$\displaystyle % (m+n)+p=m+(n+p),\qquad (m\cdot n)\cdot p=m\cdot(n\cdot p);$

ii)

komutativnost, odnosno

$\displaystyle % m+n=n+m,\qquad m\cdot n=n\cdot m;$

iii)

distributivnost, odnosno

$\displaystyle % m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p,\qquad (m+n)\cdot p=m\cdot p+n\cdot p;$

iv)

$m+n=m+p \Rightarrow n=p$ , $m\cdot n=m\cdot p \Rightarrow n=p$ ;

v)

$m+n\neq m$ .

Princip matematičke indukcije P4 iz definicije 1.13 koristimo za dokazivanje raznih korisnih tvrdnji. U poglavlju 1.4.3 taj princip ćemo koristiti za dokazivanje binomnog poučka, a sada navodimo sljedeći primjer.

Primjer 1.3 Dokažimo formulu

$\displaystyle % \sum_{i=1}^n i= 1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \forall n\in \mathbb{N}.$

Neka je

skup svih prirodnih brojeva za koje formula vrijedi. Koristeći princip matematičke indukcije dokazat ćemo da je $M=\mathbb{N}$ . Za

formula očito vrijedi. Stoga je $1\in M$ i tako je ispunjen uvjet i) aksioma P4. Ovaj uvjet zove se baza indukcije. Pokažimo da je ispunjen i uvjet ii) aksioma P4, odnosno korak indukcije. Ako je $n\in M$ , odnosno ako formula vrijedi za

, tada je

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i$	$\displaystyle = \left(\sum_{i=1}^{n}i\right)+n+1 =\frac{n(n+1)}{2}+n+1= \frac{n^2+n+2n+2}{2}$
	$\displaystyle =\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$

Dakle, $n+1\in M$ pa aksiom P4 povlači $M=\mathbb{N}$ , odnosno formula vrijedi za svaki $n\in \mathbb{N}$ .