Sustav linearnih jednadžbi bez rješenja

Riješite sustav

$\displaystyle \begin{matrix} x&+&2y&+&3z&=&-2, \\ -4x&-&3y&-&2z&=&3, \\ 3x&+&4y&+&5z&=&0. \end{matrix}$

Rješenje. Zapišimo sustav u matričnom obliku i na proširenu matricu sustava primijenimo Gaussovu metodu eliminacije opisanu u [M1, poglavlje 2.4]. Vrijedi

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}1&2&3&\vline&-2 \\ -4&-3&-2&\vline&3 \\ 3&4&5&\v... ...line&6 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{5R_3+2R_2}\\ \end{matrix}$
	$\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1&2&3&\vline&-2 \\ 0&5&10&\vline&-5 \\ 0&0&0&\vline&20 \end{bmatrix}.$

Dobili smo proširenu matricu sustava koji je ekvivalentan polaznom. Budući da iz trećeg retka slijedi

, sustav nema rješenja.