Kombinirajući radnje (i') i (iii') imamo:
jednom retku dodamo drugi redak pomnožen s nekim brojem.
Koristeći navedene transformacije matricu
svodimo na gornje
trokutasti oblik. Taj postupak se zove Gaussova eliminacija.
Neka je zadan sustav
(2.5)
Neka je
. Tada stavimo
i oduzmemo prvu jednadžbu pomnoženu s
od
-te jednadžbe
te dobijemo sustav
gdje je
Primijetimo da je varijabla
eliminirana iz tri posljednje
jednadžbe. Brojevi
kojima se u postupku eliminacije množi
prva jednadžba zovu se multiplikatori.
Neka je i
. Tada stavimo
i oduzmemo drugu jednadžbu pomnoženu s
od
-te jednadžbe
. Rezultat je sustav
gdje je
Konačno, stavimo
i oduzmemo treću jednadžbu pomnoženu s
od četvrte jednadžbe.
Rezultat je gornje trokutasti
sustav
gdje je
Dobiveni gornje trokutasti sustav sada riješimo na način koji je opisan
u poglavlju 2.3.
Broj računskih operacija potrebnih za svođenje kvadratnog sustava reda
na gornje trokutasti oblik iznosi
Vidimo da je za veće dimenzije
broj računskih operacija
potreban za rješavanje trokutastog sustava zanemariv u odnosu na broj
računskih operacija potrebnih za svođenje na trokutasti oblik.
Na modernim računalima (Pentium 350), koja izvršavaju do
milijuna
operacija u sekundi, svođenje sustava dimenzije
na trokutasti
oblik traje oko
sekundi, dok za
traje
sati, a za
traje
puta duže, odnosno oko
godina.
Postupak Gaussove eliminacije
koji smo upravo opisali za sustav reda
četiri na očit se način može poopćiti na sustave proizvoljnog reda.
Ukoliko je neki od brojeva s kojima dijelimo jednak nuli, potrebno je
dodatno koristiti postupak pivotiranja koji je opisan u poglavlju
2.4.2.
Postupak Gaussove eliminacije možemo interpretirati i kao
množenje proširene matrice sustava s lijeve strane
s elementarnim matricama
transformacije.
Neka je
proširena matrica sustava
(2.5) i neka je
Tada je
Dalje, neka je
Tada je
Konačno, neka je
Tada je
Zadatak 2.4Napišite program za svođenje proširene matrice sustava na trokutasti
oblik.