×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Sustav linearnih jednadžbi s     LINEARNA ALGEBRA     Homogeni sustav linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi s beskonačno rješenja

Riješite sljedeće sustave:

a)

$$\begin{aligned}[t] \quad x_{1}&\quad +&2x_{2}&\quad +&x_{3}&\qu... ...uad =&-8 ,\\ 5x_{1}&\quad +&5x_{2}& & &\quad =&14. \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned}[t] \quad x_{1}&\quad +&x_{2}&\quad -&x_{3}&\qua... ...ad -&x_{2}&&&\quad -&x_{4}&\quad +&2x_{5}&\quad =1. \end{aligned}$$

Rješenje.

a)

Gaussovom metodom eliminacije (vidi [M1, poglavlje 2.4]) dobivamo:

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&2&1&\vline&4\\ 2&-1&-3&\vline&2\\ 1&-8&-9&\vli... ...\begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3-2R_2}\\ \scriptstyle{R_4-R_2} \end{matrix}$$

$$\sim \begin{bmatrix}1&2&1&\vline&4\\ 0&-5&-5&\vline&-6\\ 0&0&0&\vline&0\\ 0&0&0&\vline&0 \end{bmatrix}.$$

Treći i četvrti redak glase $0=0$ , što je točno. Iz preostalih redaka slijede jednadžbe

$$-5x_2-5x_3=-6 \quad\textrm{ i }\quad x_1+2x_2+x_3=4,$$

pomoću kojih možemo nepoznanice $x_1$ i $x_2$ izraziti preko $x_3$ . Vrijedi

$$-5x_2-5x_3=-6 \quad\Rightarrow\quad 5x_2=6-5x_3 \quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{6}{5}-x_3,$$

$$x_1+2x_2+x_3=4 \quad\Rightarrow\quad x_1=4-2\left(\frac{6}{5}-x_3\right)-x_3 \quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{8}{5}+x_3.$$

Dakle, sustav ima jednoparametarsko rješenje. Stavimo $x_3=\lambda$ , gdje je $\lambda\in\mathbb{R}$ proizvoljan. Tada rješenje sustava glasi

$$x_1 =\frac{8}{5}+\lambda,$$

$$x_2 =\frac{6}{5}-\lambda,$$

$$x_3 =\lambda,$$

odnosno u matričnom zapisu

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}... ...+\lambda \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \lambda\in\mathbb{R}.$$

b)

Gaussovom metodom eliminacije (vidi [M1, poglavlje 2.4]) dobivamo:

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -3 & 4 &\vline& 2 \\ 3 & 1 & -1 & -... ...ptstyle{R_2-3R_1}\\ \scriptstyle{R_3-9R_1}\\ \scriptstyle{R_4-R_1} \end{matrix}$$

$$\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -3 & 4 &\vline& 2 \\ 0 & -2 & 2 &... ...\begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3-4R_2}\\ \scriptstyle{R_4-R_2} \end{matrix}$$

$$\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -3 & 4 &\vline& 2 \\ 0 & -2 & 2 &... ...line& 3 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \\ \scriptstyle{R_4-R_3} \end{matrix}$$

$$\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -3 & 4 &\vline& 2 \\ 0 & -2 & 2 &... ... 0 & 0 & -1 & -6 & 10 &\vline& 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{bmatrix}.$$

Četvrti redak glasi $0=0$ , što je točno. Iz preostalih redaka slijede tri jednadžbe iz kojih sve nepoznanice možemo izraziti preko $x_4$ i $x_5$ . Stoga sustav ima dvoparametarsko rješenje pa možemo staviti $x_4=\alpha,\, x_5=\beta$ , gdje su $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$ proizvoljni. Iz trećeg retka slijedi

$$-x_3-6x_4+10x_5=3 \qquad \Longrightarrow \qquad x_3=-3-6\alpha+10\beta,$$

iz drugog

$$-2x_2+2x_3+8x_4-12x_5=-4,$$

$$x_2=2+(-3-6\alpha+10\beta)+4\alpha-6\beta,$$

$$x_2 = -1 -2\alpha+4\beta$$

te iz prvog

$$x_1+x_2-x_3-3x_4+4x_5=2,$$

$$x_1=2-(-1-2\alpha+4\beta)+(-3-6\alpha+10\beta)+3\alpha-4\beta,$$

$$x_1 = - \alpha+2\beta.$$

Rješenje zapisano u matričnom obliku glasi

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \... ...trix} 2 \\ 4 \\ 10 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \alpha,\, \beta \in\mathbb{R}.$$

Sustav linearnih jednadžbi s     LINEARNA ALGEBRA     Homogeni sustav linearnih jednadžbi