Homogeni sustav jednadžbi ovisan o parametru

Odredite sve realne parametre

za koje sustav

$\displaystyle \begin{matrix} x_{1}&+&3x_{2}&+&2x_{3}&+&x_{4}&=&0, \\ x_{1}&+&x... ...&17x_{3}&+&8x_{4}&=&0, \\ 2x_{1}&+&px_{2}&+&11x_{3}&-&5x_{4}&=&0. \end{matrix}$

ima samo trivijalno rješenje.

Rješenje. Sustav je homogen pa je dovoljno primijeniti Gaussovu metodu eliminacije iz [M1, poglavlje 2.4] na matricu sustava. Vrijedi

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & p \\ -3 & 2 &... ... 0 & -2 & 2 & p-1 \\ 0 & 11 & -11 & 11 \\ 0 & p-6 & 7 & -7 \end{bmatrix}$

Budući da drugi redak sadrži parametar

, da bi pojednostavnili računanje, zamijenimo ga s trećim retkom koji ga ne sadrži. Također, podijelimo treći redak s

. Tada je

$\displaystyle A\sim\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & ... ...\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & p+1 \\ 0 & 0 & p+1 & -p-1 \end{bmatrix}.$

Da bi dobili gornje trokutasti oblik, sada moramo zamijeniti treći i četvrti redak. Stoga za proširenu matricu sustava vrijedi

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri... ... 0 & 0 & p+1 & -p-1&\vline & 0\\ 0 & 0 & 0 & p+1 &\vline & 0 \end{bmatrix}.$

Ako homogeni sustav ima jedinstveno rješenje, onda je ono trivijalno. Rješenje očito nije jedinstveno ako je

jer se tada treći i četvrti redak sastoje samo od nula, a sustav ima četiri nepoznanice. Međutim, za sve parametre $p\neq -1$ dijeljenjem trećeg i četvrtog retka s $p+1\neq 0$ dobivamo da je

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri... ... & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1&\vline & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline & 0 \end{bmatrix},$

što je proširena matrica sustava koji ima jedinstveno trivijalno rješenje.