×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Homogeni sustav linearnih jednadžbi     LINEARNA ALGEBRA     Homogeni sustav jednadžbi ovisan

Sustav linearnih jednadžbi ovisan o parametru

Riješite sljedeće sustave u ovisnosti o realnom parametru:

a)

$$\begin{aligned}[t] \quad x&\quad +&y&\quad -&z&\quad =&1, \\ 2... ...z&\quad =&3, \\ x&\quad +&ay&\quad +&3z&\quad =&2. \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned}[t] \lambda x&\quad +&y&\quad +&z&\quad =&1, \\ ... ...\ x&\quad +&y&\quad +&\lambda z&\quad =&\lambda^2. \end{aligned}$$

Rješenje.

a)

Gaussovu metodu eliminacije iz [M1, poglavlje 2.4] primijenimo na proširenu matricu sustava, pri čemu je $a$ proizvoljan realan parametar. Dobivamo

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 &\vline& 1 \\ 2 & 3 & a &\vline& 3 \\... ...ne& 1 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3-(a-1)R_2} \end{matrix}$$

$$\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 &\vline& 1 \\ 0 & 1 & a+2 &\vline& 1 \\ 0 & 0 & (a+3)(2-a) &\vline& 2-a \end{bmatrix}.$$

Ovisno o tome je li element na mjestu $(3,3)$ jednak ili različit od nule, razlikujemo tri slučaja:

Slučaj 1. Promotrimo prvo slučaj kada je $(a+3)(2-a)\neq0$ , odnosno kada $a\notin\{-3,2\}$ . Tada možemo podijeliti treći redak s $a-2\neq 0$ pa vrijedi

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri... ...line& 1 \\ 0 & 1 & a+2 &\vline& 1 \\ 0 & 0 & a+3 &\vline& 1 \end{bmatrix}.$$

Budući je i $a+3\neq0$ , iz trećeg retka slijedi

$$(a+3)\,z=1 \Rightarrow z=\frac{1}{a+3}.$$

Uvrštavanjem u jednadžbu koja slijedi iz drugog retka, dobivamo

$$y+(a+2)\,z=1 \Rightarrow y=1-\frac{a+2}{a+3} \Rightarrow y=\frac{1}{a+3}.$$

Sada iz prvog retka imamo

$$x+y-z=1 \Rightarrow x=1-\frac{1}{a+3}+\frac{1}{a+3} \Rightarrow x=1.$$

U ovom slučaju sustav ima jedinstveno rješenje koje glasi

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 \\ 1/(a+3) \\ 1/(a+3) \end{bmatrix}.$$

Slučaj 2. Ako je $a=-3$ , iz trećeg retka slijedi jednadžba $0=5$ pa sustav nema rješenja.

Slučaj 3. Za $a=2$ je

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri... ... &\vline& 1 \\ 0 & 1 & 4 &\vline& 1 \\ 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{bmatrix}.$$

Sada iz drugog retka slijedi

$$y+4z=1 \Rightarrow y=1-4z,$$

a iz prvog je

$$x+y-z=1 \Rightarrow x=1-(1-4z)+z \Rightarrow x=5z.$$

Ako stavimo $z=\lambda$ , gdje je $\lambda\in\mathbb{R}$ proizvoljan parametar, rješenje glasi

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5\lam... ...ix} +\lambda \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}, \lambda\in\mathbb{R}.$$

b)

Sustav rješavamo metodom Gaussove eliminacije opisanom u [M1, poglavlje 2.4]. Vrijedi

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ... ...a & 1 &\vline& \lambda \\ 1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \end{bmatrix}.$$

Da bi smanjili broj redaka koje treba pomnožiti s parametrom $\lambda$ i tako pojednostavnili rješavanje sustava, zamijenimo prvi i treći redak. Tada je

$$\begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 1 & \lam... ...in{matrix}\\ \scriptstyle{R_2-R_1}\\ \scriptstyle{R_3-\lambda R_1} \end{matrix}$$

$$\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 0 & \lam... ...-\lambda^3 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{R_3+R_2} \end{matrix}$$

$$\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 0 & \lam... ...\lambda)+(1-\lambda^2) &\vline& (1-\lambda^3)+(\lambda-\lambda^2) \end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix}1 & 1 & \lambda &\vline& \lambda^2 \\ 0 & \lambda... ...0 & 0 & (1-\lambda)(\lambda+2) &\vline& (1-\lambda)(1+\lambda)^2 \end{bmatrix}.$$

Zadani sustav jednadžbi je ekvivalentan dobivenom gornje trokutastom sustavu

$$x + y + \lambda z = \lambda^2,$$

$$(\lambda-1)y + (1-\lambda)z = \lambda(1-\lambda),$$

$$(1-\lambda)(\lambda+2) z = (1-\lambda)(1+\lambda)^2.$$

Promotrimo posebno sljedeća tri slučaja ovisna o tome je li izraz na mjestu $(3,3)$ jednak ili različit od nule:

Slučaj 1. Ako je $(1-\lambda)(\lambda+2)\neq0$ , odnosno $\lambda \notin\{ 1,-2\}$ , iz posljednje jednadžbe slijedi

$$z = \frac{(1-\lambda)(1+\lambda)^2}{(1-\lambda)(\lambda+2)},$$

pa sustav ima jedinstveno rješenje

$$x=-\frac{\lambda+1}{\lambda+2}, \qquad y=\frac{1}{\lambda+2}, \qquad z=\frac{(1+\lambda)^2}{\lambda+2}.$$

Slučaj 2. Za $\lambda=1$ sustav se svodi na jednadžbu $x+y+z=1$ iz koje dobivamo $x=1-y-z$ , odnosno dvoparametarsko rješenje gdje su $y$ i $z$ parametri. Označimo li ih s $\alpha$ i $\beta$ , rješenje zapisujemo u obliku

$$x=1-\alpha-\beta, \qquad y=\alpha, \qquad z=\beta, \qquad \alpha,\beta\in \mathbb{R}.$$

Slučaj 3. Za $\lambda = -2$ imamo sustav

$$x+y-2z = 4,$$

$$-3y+3z = -6,$$

$$0 \cdot z = 3,$$

koji zbog zadnje jednakosti $0=3$ očito nema rješenja.

Homogeni sustav linearnih jednadžbi     LINEARNA ALGEBRA     Homogeni sustav jednadžbi ovisan