×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Rang matrice     LINEARNA ALGEBRA     Sarrusovo pravilo

Rang matrice ovisan o parametru

U ovisnosti o parametru $\lambda\in\mathbb{R}$ odredite rang matrice

$$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & \lambda \end{bmatrix}.$$

Rješenje. Elementarnim transformacijama nad retcima iz [M1, teorem 2.4] dobivamo da je

$$A =\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & \lambda^2 \\ 1 & \lamb... ... 1 \\ 0 & \lambda -1 & \lambda^2-1 \\ 0 & \lambda^2-1 & \lambda-1 \end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & (\lambda-1)(\lambda+1) \\ 0 & (\lambda-1)(\lambda+1) & \lambda-1 \end{bmatrix}.$$

Drugi i treći redak u gornjoj matrici smijemo podijeliti s $\lambda-1$ , samo uz pretpostavku da je $\lambda\neq 1$ . Tada je

$$A\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \lambda+1 \\ 0 & \lambda... ...ix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \lambda+1 \\ 0 & 0 & -\lambda(\lambda+2) \end{bmatrix}.$$ (2.2)

Promotrimo sada posebno slučajeve $\lambda = -2$ i $\lambda=0$ za koje dobivamo nulu na mjestu $(3,3)$ jer tada treći redak postaje nul-redak, te slučaj kada je $\lambda=1$ koji smo izbacili na početku.

Slučaj 1. Za $\lambda = -2$ dobivamo

$$A\sim \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

iz čega zaključujemo da je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=2$ .

Slučaj 2. Slično, za $\lambda=0$ imamo

$$A\sim\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

pa je opet $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=2$ .

Slučaj 3. Ako je $\lambda=1$ , tada ne vrijedi dobivena ekvivalencija jer u tom slučaju ne smijemo dijeliti s $\lambda-1$ . Stoga uvrstimo $\lambda=1$ u zadanu matricu. Dobivamo

$$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix... ...nd{matrix} \sim\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

pa je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=1$ .

Slučaj 4. Konačno, u svim ostalim slučajevima, odnosno ako $\lambda\notin\{-2,0,1\}$ , reducirana matrica (2.2) ima tri ne-nul retka pa je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=3$ .

Rang matrice     LINEARNA ALGEBRA     Sarrusovo pravilo