Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj vrijedi

	$\displaystyle 1+a+a^2+\ldots +a^n = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}, \quad a\neq 1,$	(1.5)
	$\displaystyle 1+2^2+3^2+4^2+\cdots n^2=\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$	(1.6)

Rješenje. Neka je skup svih prirodnih brojeva za koje vrijedi jednakost (1.5). Želimo dokazati da je $M=\mathbb{N}$ . Jednakost očigledno vrijedi za pa je time zadovoljena baza indukcije. Sada pretpostavimo da jednakost (1.5) vrijedi za sve $k=1,2,\ldots ,n$ . Trebamo pokazati da tada vrijedi i za . Iskoristimo pretpostavku da jednakost (1.5) vrijedi za . Tada je

$\displaystyle 1+a+a^2+\ldots +a^n+a^{n+1} = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}+a^{n+1} =\frac{a^{n+2}-1}{a-1},$

(1.7)

što pokazuje da jednakost (1.5) vrijedi za

. Time je ispunjen korak indukcije. Budući je

proizvoljan, princip matematičke indukcije P4 iz

[M1, definicija 1.13] povlači da je $M=\mathbb{N}$ , odnosno da jednakost (1.5) vrijedi za sve $n\in \mathbb{N}$ .

Napomenimo da jednakost (1.5) možemo dokazati i direktno, odnosno bez korištenja matematičke indukcije. Naime, za svaki $a\neq 1$ vrijedi

$\displaystyle 1+a+a^2+\ldots +a^n$	$\displaystyle = (1+a+a^2+\ldots +a^n)\cdot \frac{a-1}{a-1}$
	$\displaystyle =\frac{a+a^2+a^3+\cdots a^n+a^{n+1} -1-a-a^2-\cdots -a^n}{a-1}$
	$\displaystyle =\frac{a^{n+1}-1}{a-1}.$

Jednakost (1.6) dokazujemo slično: uvrštavanje daje

	$\displaystyle 1+2^2+3^2+4^2+\cdots n^2+(n+1)^2= \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$
	$\displaystyle \qquad =\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$
	$\displaystyle \qquad =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},$

čime smo dokazali korak indukcije.

Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću OSNOVE MATEMATIKE Dokazivanje nejednakosti pomoću matematičke