×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom     OSNOVE MATEMATIKE     Binomni poučak

Dokazivanje nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj $n\geq 2$ vrijedi

$$(1+a)^n > 1+na, \quad a>0.$$ (1.8)

Rješenje. Označimo s $M$ skup svih prirodnih brojeva $n\geq 2$ za koje nejednakost (1.8) vrijedi. Za $n=2$ dobivamo

$$(1+a)^2=1+2a+a^2 > 1+2a,$$

pa vrijedi baza indukcije. Pretpostavimo da nejednakost (1.8) vrijedi za $k=2,3,\ldots n$ . Trebamo pokazati da tada vrijedi i za $k=n+1$ . Krenimo od lijeve strane nejednakosti. Korištenjem pretpostavke da (1.8) vrijedi za $k=n$ , dobivamo

$$(1+a)^{n+1} = (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na)=1+(n+1)a+na^2 > 1+(n+1)a.$$

Dokazali smo da je

$$(1+a)^{n+1} > 1+(n+1)a,$$

odnosno da nejednakost (1.8) vrijedi za $k=n+1$ . Budući je $n$ proizvoljan, iz principa matematičke indukcije P4 iz [M1, definicija 1.13] slijedi $M=\mathbb{N}$ . Dakle, nejednakost (1.8) je istinita za sve prirodne brojeve $n\neq 1$ .

Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom     OSNOVE MATEMATIKE     Binomni poučak