Vektorski produkt

Budući je

$\displaystyle (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$	$\displaystyle = [(2\lambda \mathbf{j}+\lambda \mathbf{k})-(2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k})]\cdot (-\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k})$
	$\displaystyle =[-2\mathbf{i}+(2\lambda-2)\mathbf{j}+(\lambda-1)\mathbf{k}]\cdot(-\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k})$
	$\displaystyle = 2-4\lambda+4-\lambda +1 = -5\lambda +7,$

$\displaystyle \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\lambda = (2\lambda \mathbf{j}+\lambda \mathbf{k})(-\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k}) +\lambda = -4\lambda,$

izjednačavanjem dobivamo $-5\lambda+7=-4\lambda$ pa je $\lambda =7$ .

Stavimo $\mathbf{d}=x_1 \mathbf{i}+x_2 \mathbf{j}+x_3 \mathbf{k}$ , gdje su

nepoznanice. Prema

[M1, teorem 3.3] je

$\displaystyle \mathbf{a}\times \mathbf{b}$	$\displaystyle = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 14 & 7\\ 2 & 2 & 1\end{vmatrix} = 14 \mathbf{j}-28 \mathbf{k},$
$\displaystyle \mathbf{c}\times \mathbf{d}$	$\displaystyle = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 ... ... \end{vmatrix} = (x_2-2x_3)\mathbf{i}+(x_3-x_1)\mathbf{j}+(2x_1-x_2)\mathbf{k},$
$\displaystyle \mathbf{a}\times \mathbf{c}$	$\displaystyle = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 14 & 7 \\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix}= -7\mathbf{j} + 14 \mathbf{k},$
$\displaystyle \mathbf{b}\times \mathbf{d}$	$\displaystyle = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & ... ...d{vmatrix} = (2x_3-x_2)\mathbf{i} + (x_1-2x_3)\mathbf{j}+(2x_2-2x_1)\mathbf{k}.$

Uvrštavanjem dobivenih vektora u zadane uvjete slijedi

$\displaystyle (x_2-2x_3)\mathbf{i}+(x_3-x_1)\mathbf{j} +(2x_1-x_2)\mathbf{k}$	$\displaystyle = 14 \mathbf{j}-28 \mathbf{k},$
$\displaystyle (2x_3-x_2)\mathbf{i} + (x_1-2x_3)\mathbf{j} +(2x_2-2x_1)\mathbf{k}$	$\displaystyle = -7\mathbf{j} + 14 \mathbf{k}.$

Vektori su jednaki samo ako su im odgovarajuće komponente jednake pa stoga dobivamo sustav

$\displaystyle \begin{matrix} &&x_2&-&2x_3 &=& 0, \\ -x_1&&&+&x_3 &=& 14, \\ 2... ...2&+&2x_3 &=& 0, \\ x_1&&&-&2x_3 &=& -7, \\ -2x_1&+&2x_2&&&=& 14, \end{matrix}$

kojeg ćemo riješiti Gaussovom metodom eliminacije

[M1, poglavlje 2.4]. Zamjenom prvog i drugog retka dobivamo

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}$	$\displaystyle =\begin{bmatrix}0 & 1 & -2 &\vline& 0 \\ -1 & 0 & 1 &\vline& 14 \... ...tyle R_3+2R_1 \\ \\ \scriptstyle R_4 +R_1\\ \scriptstyle R_6 -2 R_1\end{matrix}$
	$\displaystyle \sim\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 &\vline& 14 \\ 0 & 1 & -2 &\vline& ... ...& 0 &\vline& 0 \\ 0 & 0 & -1 &\vline& 7\\ 0 & 0 & 2 &\vline& -14 \end{bmatrix}.$

Iz trećeg i četvrtog retka slijedi

, pa ih možemo zanemariti. Iz četvrtog i petog retka slijedi

, iz drugog retka slijedi

, a iz prvog retka slijedi

. Dakle, rješenje je $\mathbf{d} = -21\mathbf{i}-14\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ .

Da bismo ispitali kolinearnost vektora $\mathbf{a}-\mathbf{d}$ i $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ , prema svojstvu V1 iz

[M1, poglavlje 3.10], dovoljno je provjeriti je li njihov vektorski produkt jednak nul-vektoru. Svojstva V3 i V4 iz

[M1, poglavlje 3.10] daju

$\displaystyle (\mathbf{a}-\mathbf{b})\times (\mathbf{b}-\mathbf{c})$	$\displaystyle = \mathbf{a}\times \mathbf{b}-\mathbf{a}\times \mathbf{c}-\mathbf{d}\times \mathbf{b}+\mathbf{d}\times \mathbf{c}$
	$\displaystyle =\mathbf{a}\times \mathbf{b}-\mathbf{a}\times \mathbf{c}-(-\mathbf{b}\times \mathbf{d})+(-\mathbf{c}\times \mathbf{d}).$

Prema uvjetima pod b), za vektor $\mathbf{d}$ vrijedi $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{c} \times \mathbf{d}$ i $\mathbf{a}\times \mathbf{c}=\mathbf{b}\times \mathbf{d}$ , pa slijedi $(\mathbf{a}-\mathbf{d})\times (\mathbf{b}-\mathbf{c})=\mathbf{0}$ . Dakle, vektori $\mathbf{a}-\mathbf{d}$ i $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ su kolinearni.