Visina paralelopipeda

Izračunajte duljinu visine paralelopipeda razapetog vektorima

$\displaystyle \mathbf{a}=3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}-5\mathbf{k}, \quad \mathbf{... ...{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}, \quad \mathbf{c}=\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k},$

kojemu je osnovica paralelogram razapet vektorima $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ .

Rješenje. Volumen paralelopipeda razapetog vektorima $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ je jednak

$\displaystyle V=\vert(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}\vert.$

S druge strane je $V=B\cdot v$ , gdje je

površina osnovice paralelopipeda, a

duljina njegove visine spuštene na tu osnovicu. Budući je osnovica paralelogram razapet vektorima $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ , vrijedi $B=\vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert$ , pa je

$\displaystyle V=\vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert \cdot v.$

Sada je

$\displaystyle v=\frac{\vert(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}\vert}{\vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert}.$

Prema

[M1, teorem 3.4] je

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix}3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4 \\ 1 & -3 & 1\end{vmatrix}=49,$

a prema

[M1, teorem 3.3] je

$\displaystyle \mathbf{a}\times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf... ... \\ 3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4\end{vmatrix}=3\mathbf{i}-17\mathbf{j}-5\mathbf{k},$

pa je

$\displaystyle \vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert=\sqrt{3^2+(-17)^2+(-5)^2}=\sqrt{323}.$

Uvrštavanjem dobivenih rezultata dobivamo da je duljina visine paralelopipeda jednaka

$\displaystyle v=\frac{49}{\sqrt{323}}.$

Volumen paralelopipeda VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Volumen tetraedra