Inverzna funkcija logaritamske funkcije

Odredite inverznu funkciju funkcije zadane s

$\displaystyle f(x)=\log_a{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}, \quad a\in\langle 0,\infty\rangle\backslash\{1\}.$

Rješenje. Funkcija je strogo rastuća, jer je kompozicija strogo rastućih funkcija, pa ima inverz $f^{-1}$ . Prema [M1, teorem 1.1] je $f\left[f^{-1}(x)\right]=x$ . Uz oznaku $f^{-1}(x)=y$ , imamo , odnosno

$\displaystyle \log_a{\left[y+\sqrt{y^2+1}\right]}$	$\displaystyle =x,$
$\displaystyle y+\sqrt{y^2+1}$	$\displaystyle =a^x,$
$\displaystyle \sqrt{y^2+1}$	$\displaystyle =a^x-y,$
$\displaystyle y^2+1$	$\displaystyle =a^{2x}-2a^xy+y^2,$
$\displaystyle 2a^xy$	$\displaystyle =a^{2x}-1,$
$\displaystyle y$	$\displaystyle =\frac{a^{2x}-1}{2a^x}.$

Dakle, inverzna funkcija funkcije

je dana s

$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{a^{2x}-1}{2a^x}.$

Inverzna funkcija i područje FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Limes slijeva i zdesna