×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Nejednadžba s kompozicijom funkcija     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Inverzna funkcija logaritamske funkcije

Inverzna funkcija i područje definicije

Odredite inverznu funkciju funkcije $f$ zadane s

$$f(x)=\frac{\sin{x}+2}{\sin{x}+1}$$

i područje definicije funkcija $f$ i $f^{-1}$ .

Rješenje. Funkcija $f$ je definirana za one $x\in \mathbb{R}$ za koje je

$$\sin{x}\neq -1,$$

odnosno za

$$x\neq \frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Stoga je

$$\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in \mathbb{Z} \right\}.$$

Prema [M1, teorem 1.1] je $f\left[f^{-1}(x)\right]=x$ . Uz oznaku $f^{-1}(x)=y$ , imamo $f(y)=x$ , odnosno

$$\frac{\sin{y}+2}{\sin{y}+1}=x.$$

Sada je

$$\sin{y}+2 =x\sin{y}+x,$$

$$(x-1)\sin{y} =2-x,$$

$$\sin{y} =\frac{2-x}{x-1}.$$

Dakle,

$$y=\arcsin{\frac{2-x}{x-1}},$$

odnosno

$$f^{-1}(x)=\arcsin{\frac{2-x}{x-1}}.$$

Prema [M1, poglavlje 4.6.6] i [M1, poglavlje 4.6.2], funkcija $f^{-1}$ je definirana za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje je

$$-1\leq \frac{2-x}{x-1} \leq 1 \quad x-1\neq 0$$

pa je

$$\mathcal{D} \left(f^{-1}\right)=\left[\frac{3}{2},+\infty \right>.$$

Nejednadžba s kompozicijom funkcija     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Inverzna funkcija logaritamske funkcije