×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Potencije     Derivacija     Diferencijal

Logaritamsko deriviranje

Logaritamsko deriviranje koristimo za deriviranje funkcija oblika

$$y=h(x)=f(x)^{g(x)}.$$

U onim točkama u kojima derivacija postoji vrijedi

$$\big(f(x)^{g(x)}\big)' =f(x)^{g(x)} \bigg(g'(x)\ln ( f(x) )+ g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}\bigg).$$

Postupak kojim se dolazi do derivacije sastoji se od tri koraka koji se lako pamte:

• logaritmiramo obje strane,
• deriviramo obje strane, pri čemu $y$ deriviramo kao složenu funkciju (kompoziciju),
• sredimo dobivenu jednakost.

Ovaj jednostavan postupak ilustrirat ćemo sljedećim primjerom.

Primjer 5.7   Izračunajmo derivaciju funkcije

$$y=(1+x)^{\frac{1}{x}}.$$

Logaritmiranje daje

$$\ln y=\frac{1}{x}\ln (1+x).$$

Deriviranje obaju strana daje

$$\frac{1}{y}y'=-\frac{1}{x^2}\ln(1+x)+\frac{1}{x} \cdot\frac{1}{1+x}\cdot 1,$$

pri čemu smo $\ln y$ derivirali po teoremu 5.4. Konačno, sređivanje ove jednakosti daje

$$y'=y \bigg(-\frac{1}{x^2}\ln(1+x) + \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x... ...x)^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x}\bigg(-\frac{1}{x}\ln(1+x) + \frac{1}{1+x}\bigg).$$

Zadatak 5.3   Izračunajte derivacije funkcija

$$y=x^x,\qquad y=x^{x^x}.$$