×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Ekstremi     Ekstremi     Zakrivljenost

Geometrijski ekstrem

U ovom poglavlju objasnit ćemo postupak traženje globalnih ekstrema u slučaju kada su u problemu koji rješavamo zadana neka ograničenja. Ograničenja se često javljaju prilikom rješavanja geometrijskih i fizikalnih problema pa odatle i naziv geometrijski ekstrem.

Riješimo sljedeći zadatak: od svih valjaka koje možemo upisati u zadani stožac visine $h$ i radijusa baze $r$ , na način da donja baza valjka leži na bazi stošca, nađimo onaj koji ima najveći volumen.

Stožac i valjak prikazani su na slici 5.10. Volumen traženog valjka je

$$V=y x^2\pi.$$

Slika 5.10: Valjak upisan u stožac

Naš cilj je izraziti volumen kao funkciju jedne varijable te naći njen maksimum uz zadani uvjet da se valjak nalazi unutar stošca. Sličnost trokuta daje

$$\frac{r-x}{y}=\frac{r}{h},$$

odnosno

$$y=(r-x)\frac{h}{r}.$$

Dakle,

$$V=V(x)=(r-x)\frac{h}{r}x^2 \pi.$$

$V(x)$ je neprekidna funkcija, a u našem zadatku $x$ poprima vrijednosti u intervalu $[0,r]$ . Po teoremu 4.8 neprekidna funkcija poprima na zatvorenom intervalu svoj maksimum i minimum pa zadani problem sigurno ima rješenje. Pored toga, vrijedi $V(0)=0$ i $V(r)=0$ , što se također vidi sa slike. Potražimo lokalne ekstreme funkcije $V(x)$ . Vrijedi

$$V'(x)=\pi \frac{h}{r}(2x(r-x)+x^2(-1))=\pi \frac{h}{r}x(-3x+2r).$$

Jednadžba $V'(x)=0$ ima dva rješenja, $x=0$ i $x=2r/3$ . Prvo rješenje nije rješenje našeg zadatka, jer je $V(0)=0$ . Kako je $V'(x)>0$ za $x\in(0,2r/3)$ i $V'(x)<0$ za $x\in(2r/3,r)$ , zaključujemo da je $x=2r/3$ točka lokalnog maksimuma. Iz istog razloga zaključujemo da je $x=2r/3$ ujedno i točka globalnog maksimuma promatrane funkcije na intervalu $[0,r]$ . Dakle, traženi valjak ima radijus $x=2r/3$ , visinu $y=h/3$ i volumen

$$V=\frac{4}{27}r^2 h\pi.$$

Ovisnost volumena upisanog valjka o njegovom radijusu prikazana je na slici 5.11.

Slika 5.11: Volumen upisanog valjka

Ekstremi     Ekstremi     Zakrivljenost