U ovom poglavlju definirat ćemo skup racionalnih brojeva
te dati osnovna svojstva tog skupa.
Na skupu
definiramo relaciju
Skup racionalnih brojeva
je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu
, odnosno
Računske operacije
,
i
te relaciju potpunog uređaja
na skupu
definiramo redom kako slijedi:
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Ovdje se zaista radi o definicijama, jer smo "nove" operacije
i relaciju uređaja na lijevim stranama definirali
pomoću poznatih operacija i uređaja na skupu
na
desnim stranama. Dakle, iste oznake za računske
operacije i relaciju uređaja imaju različita značenja na lijevim i
desnim stranama.
Računske operacije i relacija uređaja na skupu
su dobro definirane jer ne ovise o predstavniku klase ekvivalencije,
na primjer
.
Za računske operacije vrijede poznata svojstva slično kao u
teoremu 1.3.
Za razliku od skupova
i
koji su diskretni, skup
je
gust,
odnosno između svaka dva različita racionalna broja
nalazi se beskonačno mnogo racionalnih brojeva.
Neka je
Tada je
Unatoč tome što je
gust, a
prebrojiv, oba skupa imaju
jednako mnogo elemenata. Naime, skupovi
i
su
ekvipotentni jer je funkcija
definirana s
bijekcija. Oznaka