Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi

Sustav

$\displaystyle 2x_1+x_2$	$\displaystyle =1$
$\displaystyle -x_1+x_2$	$\displaystyle =-1$

možemo zapisati kao

$\displaystyle % \begin{bmatrix}2&1\\ -1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\ -1\end{bmatrix},$

odnosno kao

$\displaystyle A \mathbf{x}=\mathbf{b},$

(2.4)

pri čemu su matrice

, $\mathbf{x}$ i $\mathbf{b}$ zadane s

$\displaystyle % A=\begin{bmatrix}2&1\\ -1&1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}=\be... ...x}x_1\\ x_2\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\ -1\end{bmatrix}.$

Istoznačnost ova dva zapisa slijedi iz definicije jednakosti matrica 2.2. Matrica

se zove matrica sustava, a vektor $\mathbf{b}$ se zove slobodni vektor ili vektor slobodnih članova. Zbog jednostavnosti možemo izostaviti vektor $\mathbf{x}$ jer se njegovo prisustvo podrazumijeva pa stoga često zapisujemo proširenu matricu sustava

$\displaystyle % \begin{bmatrix}A&\vline &\mathbf{b} \end{bmatrix}= \begin{bmatr... ... -1&1 \end{matrix} & \vline & \begin{matrix}1\\ -1\end{matrix} \end{bmatrix}.$

Slično, sustav u obliku

$\displaystyle 2x_1+x_2-1$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle -x_1+x_2+1$	$\displaystyle =0$

možemo zapisati kao

$\displaystyle % A\mathbf{x}-\mathbf{b}=O_{21},$

gdje je $O_{21}$ odgovarajuća nul-matrica.

Sada možemo lako dokazati sljedeći teorem.

Teorem 2.2 Ako su $\mathbf{x}_1$ i $\mathbf{x}_2$ različita rješenja sustava $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , tada je

$\displaystyle % \mathbf{x}(\lambda)=\lambda\mathbf{x}_1+(1-\lambda)\mathbf{x}_2$

također rješenje tog sustava za svaki $\lambda\in \mathbb{R}$ .

Dokaz.

Iz svojstava množenja matrica skalarom i množenja matrica slijedi

$\displaystyle % A\mathbf{x}(\lambda)=\lambda A\mathbf{x}_1+(1-\lambda)A \mathbf{x}_2 =\lambda\mathbf{b}+(1-\lambda)\mathbf{b}=\mathbf{b},$

pa je teorem dokazan.

Q.E.D.

Ovaj teorem nam zapravo kaže da je uvijek ispunjen točno jedan od tri slučaja:

1.: sustav nema rješenje,
2.: sustav ima točno jedno rješenje,
3.: sustav ima beskonačno rješenja,

kao što smo vidjeli u uvodu. Detalje o tome kada nastupa koji od ovih slučajeva daje nam Kronecker-Capellijev teorem 2.5.

Još o množenju matrica LINEARNA ALGEBRA Rješavanje trokutastih sustava